Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00043656

Пункт а. Под правым корнем стоит $\sin\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)$. По формуле приведения $\sin\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)=-\cos x$.

Корни равны, когда равны подкоренные выражения и они не отрицательны; достаточно потребовать это от правого. Получаем систему

$$\begin{cases}4\sin^3x-4\cos^2x-\cos x-\sin x+3=-\cos x,\\ -\cos x\ge 0.\end{cases}$$

Слагаемое $-\cos x$ есть в обеих частях первого уравнения, после его удаления остаётся

$$4\sin^3x-4\cos^2x-\sin x+3=0.$$

Заменим $\cos^2x=1-\sin^2x$, чтобы осталась одна функция:

$$4\sin^3x-4+4\sin^2x-\sin x+3=0\quad\Leftrightarrow\quad 4\sin^3x+4\sin^2x-\sin x-1=0.$$

Обозначим $s=\sin x$: $4s^3+4s^2-s-1=0$. При $s=-1$: $-4+4+1-1=0$, значит, многочлен делится на $(s+1)$. Действительно, $4s^3+4s^2-s-1=4s^2(s+1)-(s+1)=(s+1)(4s^2-1)$.

$$(s+1)(2s-1)(2s+1)=0\quad\Rightarrow\quad s=-1,\ s=\dfrac12,\ s=-\dfrac12.$$

Теперь учтём условие $\cos x\le 0$ — левая половина окружности, включая верхнюю и нижнюю точки.

1) $\sin x=-1$: точка внизу, там $\cos x=0$, условие выполнено (под корнем ноль — это допустимо). $x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$.

2) $\sin x=\dfrac12$: точки $\dfrac{\pi}{6}$ ($\cos x\gt 0$) и $\dfrac{5\pi}{6}$ ($\cos x\lt 0$). Остаётся $x=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$.

3) $\sin x=-\dfrac12$: точки $-\dfrac{\pi}{6}$ ($\cos x\gt 0$) и $-\dfrac{5\pi}{6}$ ($\cos x\lt 0$). Остаётся $x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Отрезок $\left[\dfrac{9\pi}{2};6\pi\right]$ удобно сдвинуть на $4\pi$ влево: получится $\left[\dfrac{\pi}{2};2\pi\right]$ — дуга от верхней точки через левую и нижнюю к правой. Найдём корни там, а потом прибавим $4\pi$.

На $\left[\dfrac{\pi}{2};2\pi\right]$ лежат: $\dfrac{5\pi}{6}$ (II четверть), $-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi=\dfrac{7\pi}{6}$ (III четверть) и $-\dfrac{\pi}{2}+2\pi=\dfrac{3\pi}{2}$ (нижняя точка).

Прибавляем $4\pi=\dfrac{24\pi}{6}$: $\dfrac{29\pi}{6}$, $\dfrac{31\pi}{6}$ и $\dfrac{3\pi}{2}+4\pi=\dfrac{11\pi}{2}$.

Проверим себя на $x=\dfrac{31\pi}{6}$ (это та же точка, что $\dfrac{7\pi}{6}$): $\sin x=-\dfrac12$, $\cos x=-\dfrac{\sqrt3}{2}$. Слева под корнем $4\cdot\left(-\dfrac18\right)-3+\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac12+3=\dfrac{\sqrt3}{2}$, справа $-\cos x=\dfrac{\sqrt3}{2}$ — совпало.