Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00042103

Пункт а. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель определён и отличен от нуля. В знаменателе корень из $-\cos x$, значит

$$-\cos x\gt0\quad\Leftrightarrow\quad\cos x\lt0.$$

Это левая половина единичной окружности (II и III четверти, без точек на оси ординат). При $\cos x\lt0$ тангенс заведомо существует.

Числитель. Пусть $t=\operatorname{tg}x$: $t^2-4t-5=0$, $D=16+20=36$, $t=\dfrac{4\pm6}{2}$, то есть $t=5$ или $t=-1$.

$\operatorname{tg}x=-1$: на окружности это точки $\dfrac{3\pi}{4}$ и $-\dfrac{\pi}{4}$. Косинус отрицателен только в $\dfrac{3\pi}{4}$ (II четверть), поэтому $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

$\operatorname{tg}x=5$: точки $\operatorname{arctg}5$ (I четверть, косинус положителен — не подходит) и противоположная ей $\pi+\operatorname{arctg}5$ (III четверть, косинус отрицателен — подходит). Получаем $x=\pi+\operatorname{arctg}5+2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Отбор корней. Отрезок $\left[-3\pi;-\dfrac{3\pi}{2}\right]$ в числах: примерно от $-9{,}42$ до $-4{,}71$.

Серия $x=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n$. При $n=-1$: $-\dfrac{5\pi}{4}\approx-3{,}93$ — это правее $-4{,}71$, вне отрезка. При $n=-2$: $-\dfrac{13\pi}{4}\approx-10{,}21$ — левее $-9{,}42$, тоже вне. Из этой серии корней нет.

Серия $x=\pi+\operatorname{arctg}5+2\pi k$, где $\operatorname{arctg}5\approx1{,}37$. При $k=-2$: $\pi+\operatorname{arctg}5-4\pi=\operatorname{arctg}5-3\pi\approx1{,}37-9{,}42=-8{,}05$ — внутри отрезка. При $k=-1$: $\approx-1{,}77$ — правее; при $k=-3$: $\approx-14{,}33$ — левее.

Проверка: точка $\operatorname{arctg}5-3\pi$ отличается от $\pi+\operatorname{arctg}5$ на $-4\pi$, два полных оборота, значит, она тоже в III четверти: $\cos x\lt0$, знаменатель определён, $\operatorname{tg}x=5$ и числитель равен $25-20-5=0$.