Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00043655

Пункт а. Слева и справа стоят квадратные корни. Два корня равны, когда равны подкоренные выражения и при этом они не отрицательны. Достаточно потребовать неотрицательность одного из них — второе тогда равно ему и тоже не отрицательно. Удобнее взять правую часть: она проще.

Упростим её по формуле приведения: $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x$. Значит, уравнение равносильно системе

$$\begin{cases}2\cos^3x-\sin^2x-2\cos x-\sin x=-\sin x,\\ -\sin x\ge 0.\end{cases}$$

В первом уравнении слагаемое $-\sin x$ стоит в обеих частях, уберём его:

$$2\cos^3x-2\cos x-\sin^2x=0.$$

Вынесем $2\cos x$ из первых двух слагаемых: $2\cos x(\cos^2x-1)$. По основному тригонометрическому тождеству $\cos^2x-1=-\sin^2x$. Получаем

$$-2\cos x\sin^2x-\sin^2x=0\quad\Leftrightarrow\quad -\sin^2x\,(2\cos x+1)=0.$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

1) $\sin x=0$: $x=\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$. Условие $-\sin x\ge 0$ выполнено: $-\sin x=0$. Вся серия подходит.

2) $\cos x=-\dfrac12$: на окружности это две точки, $\dfrac{2\pi}{3}$ (вверху, $\sin x\gt 0$) и $-\dfrac{2\pi}{3}$ (внизу, $\sin x\lt 0$). Условие $\sin x\le 0$ оставляет только нижнюю: $x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$.

Пункт б. Отберём корни на отрезке $\left[-4\pi;-\dfrac{5\pi}{2}\right]$ с помощью единичной окружности. Точка $-4\pi$ совпадает с правой точкой окружности (как $0$), точка $-\dfrac{5\pi}{2}$ — с нижней (как $-\dfrac{\pi}{2}$). Идём от $-4\pi$ против часовой стрелки: проходим верхнюю точку $-\dfrac{7\pi}{2}$, левую $-3\pi$ и приходим вниз в $-\dfrac{5\pi}{2}$ — это три четверти окружности.

Серия $\pi k$: на этой дуге лежат $-4\pi$ (левый конец, входит) и $-3\pi$. Следующая точка $-2\pi$ уже правее $-\dfrac{5\pi}{2}$.

Серия $-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi k$: точка в III четверти. На нашей дуге III четверть проходится между $-3\pi$ и $-\dfrac{5\pi}{2}$, там это $-\dfrac{2\pi}{3}-2\pi=-\dfrac{8\pi}{3}$. Проверим числом: $-3\pi\lt -\dfrac{8\pi}{3}\lt -\dfrac{5\pi}{2}$, так как $-\dfrac{18\pi}{6}\lt -\dfrac{16\pi}{6}\lt -\dfrac{15\pi}{6}$.

Проверим себя на $x=-\dfrac{8\pi}{3}$: $\cos x=-\dfrac12$, $\sin x=-\dfrac{\sqrt3}{2}$. Слева под корнем $2\cdot\left(-\dfrac18\right)-\dfrac34+1+\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\sqrt3}{2}$, справа $-\sin x=\dfrac{\sqrt3}{2}$ — совпало, и выражение положительно.