Тригонометри… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00042102

Пункт а. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель при этом существует и не равен нулю. Знаменатель — корень, поэтому подкоренное выражение должно быть строго положительным:

$$1-2\sin x\gt0\quad\Leftrightarrow\quad \sin x\lt\dfrac12.$$

Кроме того, должен существовать $\operatorname{tg}x$, то есть $\cos x\neq0$.

Числитель. Сделаем замену $t=\operatorname{tg}x$: $t^2+\left(2-\sqrt3\right)t-2\sqrt3=0$. Дискриминант:

$$D=\left(2-\sqrt3\right)^2+8\sqrt3=4-4\sqrt3+3+8\sqrt3=7+4\sqrt3=\left(2+\sqrt3\right)^2.$$

Корни: $t_1=\dfrac{-(2-\sqrt3)+(2+\sqrt3)}{2}=\sqrt3$, $t_2=\dfrac{-(2-\sqrt3)-(2+\sqrt3)}{2}=-2$.

Отбор по условию $\sin x\lt\dfrac12$. Каждое значение тангенса даёт на окружности две диаметрально противоположные точки, и синусы у них разных знаков. Поэтому серию с периодом $\pi$ разбиваем на две серии с периодом $2\pi$ и проверяем каждую.

$\operatorname{tg}x=\sqrt3$: точки $\dfrac{\pi}{3}$ и $\dfrac{4\pi}{3}$. В точке $\dfrac{\pi}{3}$ синус равен $\dfrac{\sqrt3}{2}\approx0{,}87\gt\dfrac12$ — не подходит. В точке $\dfrac{4\pi}{3}$ синус равен $-\dfrac{\sqrt3}{2}\lt\dfrac12$ — подходит. Получаем $x=\dfrac{4\pi}{3}+2\pi n$, или, что то же самое, $x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$.

$\operatorname{tg}x=-2$: точки $-\operatorname{arctg}2$ (IV четверть) и $\pi-\operatorname{arctg}2$ (II четверть). В IV четверти синус отрицателен — подходит. Во II четверти синус положителен; найдём его: из $\operatorname{tg}x=-2$ и $1+\operatorname{tg}^2x=\dfrac{1}{\cos^2x}$ получаем $\cos^2x=\dfrac15$, $\sin^2x=\dfrac45$, $\sin x=\dfrac{2}{\sqrt5}\approx0{,}89\gt\dfrac12$ — не подходит. Остаётся $x=-\operatorname{arctg}2+2\pi k$.

Условие $\cos x\neq0$ в найденных точках выполнено: тангенс в них конечен.

Пункт б. Отбор корней. Отрезок $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$ в радианах: примерно от $4{,}71$ до $9{,}42$.

Серия $x=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$: при $n=1$ получаем $\dfrac{4\pi}{3}\approx4{,}19$ — левее отрезка; при $n=2$ получаем $\dfrac{10\pi}{3}\approx10{,}47$ — правее. Корней из этой серии на отрезке нет.

Серия $x=-\operatorname{arctg}2+2\pi k$, где $\operatorname{arctg}2\approx1{,}11$: при $k=1$ получаем $2\pi-\operatorname{arctg}2\approx5{,}17$ — внутри; при $k=2$ получаем $\approx11{,}46$ — правее; при $k=0$ — отрицательное число.

Проверка $x=2\pi-\operatorname{arctg}2$: $\operatorname{tg}x=-2$, числитель $4-2\left(2-\sqrt3\right)-2\sqrt3=4-4+2\sqrt3-2\sqrt3=0$; синус в IV четверти отрицателен, так что $1-2\sin x\gt0$ и знаменатель определён.