Преобразовани… — Задание 8 ЕГЭ по математике №00043449

Дан логарифм $a$ по основанию $b$, а нужен логарифм по основанию $a$. Сначала «перевернём» данное.

Если $\log_b a=-2$, то $a=b^{-2}$. Обратно: $b=a^{-\frac12}$ (возвели обе части в степень $-\frac12$: $\left(b^{-2}\right)^{-\frac12}=b^{1}$). Значит, $\log_a b=-\dfrac12$. Общее правило такое: если поменять основание и аргумент местами, логарифм превращается в обратное число, $\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}$.

Логарифм произведения — сумма логарифмов, показатели выносим вперёд:

$$\log_a\left(a^{3}b^{14}\right)=\log_a a^{3}+\log_a b^{14}=3\log_a a+14\log_a b=3+14\log_a b.$$

$$3+14\cdot\left(-\dfrac12\right)=3-7=-4.$$

Проверим на числах. Пусть $b=2$, тогда $a=2^{-2}=\dfrac14$. Выражение $a^{3}b^{14}=2^{-6}\cdot2^{14}=2^{8}$. Ищем $\log_{1/4}2^{8}$: так как $\left(\dfrac14\right)^{k}=2^{-2k}$, нужно $-2k=8$, то есть $k=-4$. Совпало.