Преобразовани… — Задание 8 ЕГЭ по математике №00043448

Нам известен $\log_a b$, а спрашивают логарифм дроби, в которой стоят степени $a$ и $b$. План: разбить логарифм дроби на кусочки, в каждом из которых будет либо $\log_a a$, либо $\log_a b$.

Правило первое: логарифм частного равен разности логарифмов, $\log_a\dfrac{X}{Y}=\log_a X-\log_a Y$.

$$\log_a\dfrac{a^{4}}{b^{5}}=\log_a a^{4}-\log_a b^{5}.$$

Правило второе: показатель степени под логарифмом выносится вперёд множителем, $\log_a X^{k}=k\log_a X$.

$\log_a a^{4}=4\log_a a=4\cdot1=4$ (логарифм основания по самому себе равен $1$), а $\log_a b^{5}=5\log_a b=5\cdot15=75$.

$$4-75=-71.$$

Проверим на конкретных числах. Пусть $a=2$, тогда из условия $b=2^{15}$. Дробь $\dfrac{2^{4}}{\left(2^{15}\right)^{5}}=\dfrac{2^{4}}{2^{75}}=2^{4-75}=2^{-71}$, и $\log_2 2^{-71}=-71$. Совпало.