Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043225

Ищем точку максимума: в ней рост функции сменяется убыванием. При $x=0$ функция не определена.

Поделим числитель на $x$ почленно:

$$y=\dfrac{x^{2}}{x}+\dfrac{11x}{x}+\dfrac{49}{x}=x+11+\dfrac{49}{x}.$$

Производная: у $x$ это $1$, у числа $11$ — ноль, у $\dfrac{49}{x}=49x^{-1}$ — это $-\dfrac{49}{x^{2}}$:

$$y'=1-\dfrac{49}{x^{2}}=\dfrac{x^{2}-49}{x^{2}}=\dfrac{(x-7)(x+7)}{x^{2}}.$$

Нули: $x=-7$ и $x=7$. Знаменатель положителен, знак решает числитель $(x-7)(x+7)$.

При $x=-10$: $(-17)\cdot(-3)\gt 0$ — функция растёт. При $x=-1$: $(-8)\cdot 6\lt 0$ — убывает. При $x=1$: тоже $\lt 0$ — убывает. При $x=10$: $3\cdot 17\gt 0$ — растёт.

Рост сменяется убыванием в точке $x=-7$ — это точка максимума. В точке $x=7$ всё наоборот, там минимум.

Проверим себя: $y(-1)=-1+11-49=-39$, $y(-49)=-49+11-1=-39$, а $y(-7)=-7+11-7=-3$ — выше обоих, как и положено вершине.