Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043218

Ищем точку максимума — место, где рост функции сменяется убыванием. При $x=0$ функция не определена.

Разделим числитель почленно на $x$:

$$y=4x+\dfrac{225}{x}.$$

Производная: у $4x$ это $4$; запишем $\dfrac{225}{x}=225x^{-1}$, её производная $-225x^{-2}=-\dfrac{225}{x^{2}}$:

$$y'=4-\dfrac{225}{x^{2}}=\dfrac{4x^{2}-225}{x^{2}}.$$

Нули: $4x^{2}=225$, $x^{2}=\dfrac{225}{4}$, откуда $x=\dfrac{15}{2}=7{,}5$ или $x=-7{,}5$.

Знаменатель положителен, знак задаёт числитель $4x^{2}-225$: снаружи от корней он положителен, между корнями отрицателен (не забываем, что $x=0$ выколот).

Значит, при $x\lt -7{,}5$ функция растёт, на $(-7{,}5;0)$ убывает. Рост сменился убыванием в точке $x=-7{,}5$ — это точка максимума.

Проверим себя: при $x=-10$ производная $4-\dfrac{225}{100}=4-2{,}25\gt 0$, при $x=-1$ — $4-225\lt 0$. Знак сменился с плюса на минус, всё верно.