Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043224

Ищем наименьшее значение на отрезке $[0{,}5;10]$. На этом отрезке $x\gt 0$, так что делить на $x$ можно.

Разделим числитель почленно:

$$y=\dfrac{2x^{2}}{x}-\dfrac{9x}{x}+\dfrac{8}{x}=2x-9+\dfrac{8}{x}.$$

Производная: $(2x)'=2$, число $-9$ даёт ноль, $\left(\dfrac{8}{x}\right)'=-\dfrac{8}{x^{2}}$:

$$y'=2-\dfrac{8}{x^{2}}=\dfrac{2x^{2}-8}{x^{2}}=\dfrac{2(x-2)(x+2)}{x^{2}}.$$

Нули: $x=2$ и $x=-2$. На отрезке лежит только $x=2$.

Знаки. При $x=1$: $2-8=-6\lt 0$ — функция убывает. При $x=4$: $2-\dfrac{8}{16}=1{,}5\gt 0$ — растёт.

Убывание сменилось ростом в точке $x=2$ — это самое низкое место на отрезке:

$$y(2)=2\cdot 2-9+\dfrac{8}{2}=4-9+4=-1.$$

Проверим себя концами: $y(0{,}5)=1-9+16=8$ и $y(10)=20-9+0{,}8=11{,}8$ — оба больше, чем $-1$.