Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043217

Ищем точку минимума — место, где убывание функции сменяется ростом. Функция не определена при $x=0$ (на ноль делить нельзя).

Дробь удобно разделить почленно: числитель из двух слагаемых, каждое делим на $x$:

$$y=\dfrac{25x^{2}}{x}+\dfrac{169}{x}=25x+\dfrac{169}{x}.$$

Производная: у $25x$ это $25$; у $\dfrac{169}{x}=169x^{-1}$ это $-169x^{-2}=-\dfrac{169}{x^{2}}$:

$$y'=25-\dfrac{169}{x^{2}}=\dfrac{25x^{2}-169}{x^{2}}.$$

Знаменатель $x^{2}$ положителен, знак решает числитель. Он равен нулю, когда $x^{2}=\dfrac{169}{25}$, то есть $x=\dfrac{13}{5}=2{,}6$ или $x=-2{,}6$.

Числитель $25x^{2}-169$ отрицателен между корнями и положителен снаружи. Учтём, что $x=0$ выколот:

на $(-2{,}6;0)$ и на $(0;2{,}6)$ производная отрицательна — функция убывает; при $x\gt 2{,}6$ — растёт; при $x\lt -2{,}6$ — тоже растёт.

Убывание сменяется ростом в точке $x=2{,}6$ — это точка минимума. В точке $x=-2{,}6$ рост сменяется убыванием, там максимум.

Проверим себя: при $x=1$ производная $25-169\lt 0$, при $x=3$ — $25-\dfrac{169}{9}\approx 25-18{,}8\gt 0$. Знак сменился с минуса на плюс между $1$ и $3$, всё сходится.