Угол между… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00042537

Пункт а. Докажем, что точка $H$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$, тогда и только тогда, когда все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом.

Обозначу тетраэдр $ABCD$ с основанием $ABC$ и высотой $DH$: точка $H$ лежит в плоскости $ABC$, а $DH$ перпендикулярен этой плоскости. Из точки $H$ опущу перпендикуляры $HK$, $HL$ и $HM$ на прямые $AB$, $BC$ и $AC$. Углом наклона боковой грани к основанию считаю двугранный угол тетраэдра при соответствующем ребре основания.

Шаг 1. Где виден угол наклона грани.

Отрезок $DK$ — наклонная к плоскости $ABC$, отрезок $HK$ — её проекция. Проекция перпендикулярна прямой $AB$, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах и сама наклонная $DK\perp AB$.

Значит, в треугольнике $DKH$ угол $H$ прямой, а угол $DKH$ образован двумя перпендикулярами к ребру $AB$: одним в грани $ABD$, другим в плоскости основания. Если $H$ лежит по ту же сторону от $AB$, что и вершина $C$, то $\angle DKH$ — это и есть двугранный угол при ребре $AB$, и он острый. Если же $H$ лежит по другую сторону от $AB$ (или на самой прямой $AB$), двугранный угол при ребре $AB$ тупой (или прямой).

То же верно для рёбер $BC$ и $AC$ с точками $L$ и $M$.

Шаг 2. Равные углы наклона $\Rightarrow$ $H$ — центр вписанной окружности.

Пусть все три двугранных угла при рёбрах основания равны. Они не могут быть все прямыми или все тупыми: тогда точка $H$ лежала бы для каждой стороны треугольника не по ту же сторону, что противолежащая вершина, а таких точек нет — внешние полуплоскости трёх сторон треугольника общих точек не имеют. Значит, все три угла острые, и точка $H$ лежит внутри треугольника $ABC$.

Теперь прямоугольные треугольники $DKH$, $DLH$ и $DMH$ имеют общий катет $DH$ и равные острые углы при вершинах $K$, $L$, $M$. Они равны по катету и противолежащему острому углу, поэтому

$$HK=HL=HM.$$

Точка $H$ лежит внутри треугольника и одинаково удалена от всех трёх его сторон — это центр вписанной окружности.

Шаг 3. $H$ — центр вписанной окружности $\Rightarrow$ углы наклона равны.

Пусть $H$ — центр вписанной окружности радиуса $r$. Тогда $H$ лежит внутри треугольника, а $K$, $L$, $M$ — точки касания, и $HK=HL=HM=r$.

Прямоугольные треугольники $DKH$, $DLH$ и $DMH$ равны по двум катетам: $DH$ общий, $HK=HL=HM$. Значит, $\angle DKH=\angle DLH=\angle DMH$. Поскольку $H$ внутри треугольника, по шагу 1 эти углы и есть двугранные углы при рёбрах основания — все боковые грани наклонены к основанию под одним углом.

Оба направления доказаны, что и требовалось.

Проверка на частном случае: в правильной треугольной пирамиде высота падает в центр правильного треугольника, а все апофемы наклонены одинаково — утверждение выполняется.

Пункт б. Найдём площадь боковой поверхности.

Все боковые грани наклонены к основанию под одним острым углом $60^\circ$, поэтому по пункту а точка $H$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$, а $HK=HL=HM=r$ — её радиус.

Площадь основания найдём по формуле Герона: полупериметр $p=\dfrac{13+14+15}{2}=21$,

$$S_{ABC}=\sqrt{21\cdot(21-13)\cdot(21-14)\cdot(21-15)}=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=\sqrt{7056}=84.$$

Радиус вписанной окружности — площадь, делённая на полупериметр: $r=\dfrac{84}{21}=4$.

Высота боковой грани $ABD$, проведённая к ребру $AB$, — это отрезок $DK$ (по теореме о трёх перпендикулярах $DK\perp AB$). В прямоугольном треугольнике $DKH$ угол при $K$ равен $60^\circ$, катет $HK=4$ прилежит к нему:

$$DK=\dfrac{HK}{\cos60^\circ}=\dfrac{4}{1/2}=8.$$

Так же $DL=DM=8$. Площадь боковой поверхности — сумма площадей трёх граней с одинаковой высотой $8$:

$$S_{\text{бок}}=\dfrac12\cdot8\cdot(AB+BC+AC)=\dfrac12\cdot8\cdot42=168.$$

Проверим себя через площадь проекции. Грань $ABD$ проектируется на основание в треугольник $ABH$, и площадь проекции равна площади грани, умноженной на косинус угла между плоскостями. Три проекции $ABH$, $BCH$, $CAH$ точка $H$, лежащая внутри, складывает в весь треугольник $ABC$:

$$S_{\text{бок}}\cdot\cos60^\circ=S_{ABC}\ \Rightarrow\ S_{\text{бок}}=\dfrac{84}{1/2}=168.$$

Совпало.