ID: 00008721
Точка $E$ — середина ребра $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
а) Докажите, что сечение куба плоскостью $A_1BE$ — это равнобокая трапеция.
б) Найдите площадь этого сечения, если рёбра куба равны $2$.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Введём координаты с ребром куба $a=2$. Точка $E$ (середина $CC_1$) — середина соответствующего ребра.
Прямые, по которым секущая плоскость пересекает пару противоположных граней куба, параллельны (как линии пересечения плоскости с параллельными гранями), поэтому в сечении — трапеция; равенство боковых сторон даёт равнобокую трапецию. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Сечение проходит через точки $A_1$, $B$, $E$. Находим вершины сечения как точки пересечения плоскости с рёбрами куба.
Площадь полученной равнобокой трапеции равна $4{,}5$.
$4{,}5$