Global EE

Угол между… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00005309

Задание №15. Стереометрическая задача

Угол между плоскостями граней многогранника

№2. Задание 15

ID: 00005309

Точка $E$ — середина ребра $BB_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

а) Докажите, что сечение куба плоскостью $D_1AE$ есть равнобокая трапеция.

б) Найдите площадь этого сечения, если ребра куба равны $4$.

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

Введём координаты с ребром куба $a=4$. Точка $E$ (середина $BB_1$) — середина соответствующего ребра.

Прямые, по которым секущая плоскость пересекает пару противоположных граней куба, параллельны (как линии пересечения плоскости с параллельными гранями), поэтому в сечении — трапеция; равенство боковых сторон даёт равнобокую трапецию. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Сечение проходит через точки $D_1$, $A$, $E$. Находим вершины сечения как точки пересечения плоскости с рёбрами куба.

Площадь полученной равнобокой трапеции равна $18$.

Ответ

$18$

Другие задания по теме «Угол между плоскостями граней многогранника» (4)