Задание 16 ЕГЭ по математике №00042160

Числитель — многочлен, знаменатель — показательное выражение. Разложим оба на множители и применим метод интервалов.

Числитель. Ищем целый корень среди делителей свободного члена $9$. При $x=3$: $2\cdot 27-11\cdot 9+12\cdot 3+9=54-99+36+9=0$. Делим на $x-3$:

$$2x^3-11x^2+12x+9=(x-3)(2x^2-5x-3).$$

Трёхчлен $2x^2-5x-3$: $D=25+24=49$, $x=\dfrac{5\pm 7}{4}$, то есть $3$ и $-\dfrac12$; $2x^2-5x-3=(x-3)(2x+1)$. Итого

$$2x^3-11x^2+12x+9=(x-3)^2(2x+1).$$

Знаменатель. Пусть $t=3^x$, $t\gt 0$; $3^{2x+1}=3t^2$:

$$3t^2-7t+2,\qquad D=49-24=25,\qquad t=\dfrac{7\pm 5}{6},$$

то есть $t=2$ и $t=\dfrac13$; знаменатель равен $(3t-1)(t-2)$. Он положителен при $t\lt\dfrac13$ или $t\gt 2$ и отрицателен между ними. Функция $3^x$ возрастает: $3^x\lt\dfrac13\Leftrightarrow x\lt -1$; $3^x\gt 2\Leftrightarrow x\gt\log_3 2$. Значит, знак знаменателя совпадает со знаком $(x+1)(x-\log_3 2)$, и неравенство равносильно

$$\dfrac{(x-3)^2(2x+1)}{(x+1)(x-\log_3 2)}\leq 0.$$

Порядок точек. $\log_3 2$ положителен и меньше $1$ (так как $1\lt 2\lt 3$), поэтому на оси точки идут так: $-1$, $-\dfrac12$, $\log_3 2\approx 0{,}63$, $3$.

$x\lt -1$: $2x+1\lt 0$, знаменатель положителен — дробь отрицательна, подходит.

$-1\lt x\lt -\dfrac12$: числитель и знаменатель отрицательны — дробь положительна, не подходит.

$x=-\dfrac12$: числитель ноль, знаменатель не ноль — подходит.

$-\dfrac12\lt x\lt\log_3 2$: числитель положителен, знаменатель отрицателен — подходит.

$x\gt\log_3 2$, $x\neq 3$: оба положительны — не подходит.

$x=3$: числитель ноль, знаменатель $3^7-7\cdot 27+2\neq 0$ — подходит.

Проверим себя. При $x=0$: числитель $9$, знаменатель $3-7+2=-2$, дробь $-4{,}5\leq 0$ — подходит. При $x=1$: числитель $12$, знаменатель $27-21+2=8$ — не подходит. При $x=-2$: числитель $25\cdot(-3)=-75$, знаменатель $\dfrac{3}{81}-\dfrac79+2\gt 0$ — дробь отрицательна, подходит.