Задание 16 ЕГЭ по математике №00022301

Действуем как в классике этого типа: числитель сворачиваем группировкой, знаменатель — в полный квадрат.

Числитель: $8x^3-4x^2-2x+1=4x^2(2x-1)-(2x-1)=(2x-1)\left(4x^2-1\right)=(2x-1)^2(2x+1)$.

Знаменатель: пусть $u=4^{x^2}$, тогда $16^{x^2}=u^2$, и внизу $u^2-4u+4=(u-2)^2=\left(4^{x^2}-2\right)^2$. Найдём его нули: $4^{x^2}=2$, то есть $2^{2x^2}=2^1$, откуда $x^2=\dfrac{1}{2}$ и $x=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx\pm 0{,}71$.

При остальных $x$ знаменатель строго положителен, так что знак дроби задаёт числитель: нужно $(2x-1)^2(2x+1)\le 0$. Квадрат $(2x-1)^2$ всегда неотрицателен, поэтому отрицательным произведение бывает только за счёт скобки $2x+1$, а нулевым — когда $x=\dfrac{1}{2}$ (обнуляется квадрат) или $x=-\dfrac{1}{2}$. Итого по числителю: луч $x\le-\dfrac{1}{2}$ и изолированная точка $x=\dfrac{1}{2}$.

Выкалываем нули знаменателя. Точка $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx -0{,}71$ попадает внутрь луча $x\le-\dfrac{1}{2}$ — выкалываем её, луч распадается на два куска. Точка $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}71$ — это не $\dfrac{1}{2}$, так что наша изолированная точка выживает.

Проверка. $x=\dfrac{1}{2}$: числитель $\left(2\cdot\dfrac{1}{2}-1\right)^2\left(2\cdot\dfrac{1}{2}+1\right)=0$, знаменатель $\left(4^{1/4}-2\right)^2=\left(\sqrt{2}-2\right)^2\ne 0$ — дробь равна нулю, годится. $x=-1$: числитель $(-3)^2\cdot(-1)=-9<0$, знаменатель $(4-2)^2=4>0$ — годится. $x=0$: числитель $1\cdot 1=1>0$ — не годится, и в ответе нуля нет. Всё сходится.