Задание 16 ЕГЭ по математике №00042158

В числителе многочлен, в знаменателе — показательное выражение. План: разложить числитель на множители, заменить знаменатель произведением простых множителей того же знака и решить методом интервалов.

Числитель. Ищем рациональный корень среди чисел $\pm\dfrac{p}{q}$, где $p$ — делитель свободного члена $2$, $q$ — делитель старшего коэффициента $4$. Пробуем $x=\dfrac12$:

$$4\cdot\dfrac18+4\cdot\dfrac14-7\cdot\dfrac12+2=\dfrac12+1-\dfrac72+2=0.$$

Значит, многочлен делится на $2x-1$. Деление даёт $4x^3+4x^2-7x+2=(2x-1)(2x^2+3x-2)$ (проверка раскрытием: $4x^3+6x^2-4x-2x^2-3x+2=4x^3+4x^2-7x+2$).

Трёхчлен $2x^2+3x-2$: $D=9+16=25$, $x=\dfrac{-3\pm 5}{4}$, то есть $x=\dfrac12$ и $x=-2$; $2x^2+3x-2=(2x-1)(x+2)$. Итого

$$4x^3+4x^2-7x+2=(2x-1)^2(x+2).$$

Знаменатель. Пусть $s=2^{-x}$, $s\gt 0$. Тогда $2^{1-x}=2s$, $4^{2-x}=16\cdot 4^{-x}=16s^2$:

$$2-22s+48s^2=2(24s^2-11s+1).$$

Корни $24s^2-11s+1$: $D=121-96=25$, $s=\dfrac{11\pm 5}{48}$, то есть $s=\dfrac13$ и $s=\dfrac18$. Значит, знаменатель равен $2(3s-1)(8s-1)$.

Знаменатель положителен, когда $s\lt\dfrac18$ или $s\gt\dfrac13$, и отрицателен между ними. Переводим в $x$. Функция $2^{-x}$ убывает, поэтому знаки неравенств переворачиваются: $2^{-x}\lt\dfrac18=2^{-3}\Leftrightarrow x\gt 3$; $2^{-x}\gt\dfrac13\Leftrightarrow -x\gt -\log_2 3\Leftrightarrow x\lt\log_2 3$.

Итак, знаменатель положителен при $x\lt\log_2 3$ и при $x\gt 3$, отрицателен при $\log_2 3\lt x\lt 3$ и равен нулю в точках $\log_2 3$ и $3$. Такой же знак имеет произведение $(x-\log_2 3)(x-3)$, поэтому неравенство равносильно

$$\dfrac{(2x-1)^2(x+2)}{(x-\log_2 3)(x-3)}\leq 0.$$

Метод интервалов. Отмечаем точки $-2$, $\dfrac12$, $\log_2 3\approx 1{,}58$, $3$ (последние две выколоты).

$x\lt -2$: $x+2\lt 0$, знаменатель положителен — дробь отрицательна, подходит.

$x=-2$: числитель ноль, знаменатель не ноль — подходит.

$-2\lt x\lt\log_2 3$, $x\neq\dfrac12$: числитель и знаменатель положительны — не подходит.

$x=\dfrac12$: числитель ноль, знаменатель не ноль — подходит.

$\log_2 3\lt x\lt 3$: числитель положителен, знаменатель отрицателен — подходит.

$x\gt 3$: оба положительны — не подходит.

Проверим себя. При $x=2$: числитель $32+16-14+2=36$, знаменатель $2-11\cdot 1+3\cdot 1=-6$, дробь $-6\leq 0$ — подходит. При $x=0$: числитель $2$, знаменатель $2-22+48=28$ — дробь положительна, не подходит.