Задание 16 ЕГЭ по математике №00042159

Разложим числитель на множители, знаменатель заменим произведением линейных множителей того же знака и применим метод интервалов.

Числитель. Проверим $x=\dfrac32$:

$$4\cdot\dfrac{27}{8}-8\cdot\dfrac94-3\cdot\dfrac32+9=\dfrac{27}{2}-18-\dfrac92+9=0.$$

Делим на $2x-3$: $4x^3-8x^2-3x+9=(2x-3)(2x^2-x-3)$. Корни $2x^2-x-3$: $D=1+24=25$, $x=\dfrac{1\pm 5}{4}$, то есть $\dfrac32$ и $-1$; $2x^2-x-3=(2x-3)(x+1)$. Итого

$$4x^3-8x^2-3x+9=(2x-3)^2(x+1).$$

Проверка раскрытием: $(4x^2-12x+9)(x+1)=4x^3-12x^2+9x+4x^2-12x+9=4x^3-8x^2-3x+9$.

Знаменатель. Пусть $t=3^x$, $t\gt 0$. Тогда $9^{x+1}=9t^2$:

$$9t^2-82t+9,\qquad D=82^2-4\cdot 81=6724-324=6400=80^2,\qquad t=\dfrac{82\pm 80}{18}.$$

Корни $t=9$ и $t=\dfrac19$, знаменатель равен $(9t-1)(t-9)$. Он положителен при $t\lt\dfrac19$ или $t\gt 9$, то есть (функция $3^x$ возрастает) при $x\lt -2$ или $x\gt 2$, и отрицателен при $-2\lt x\lt 2$. Тот же знак у произведения $(x+2)(x-2)$, поэтому неравенство равносильно

$$\dfrac{(2x-3)^2(x+1)}{(x+2)(x-2)}\geq 0.$$

Метод интервалов. Точки: $-2$ и $2$ (выколоты), $-1$ и $\dfrac32$ (нули числителя).

$x\lt -2$: числитель отрицателен, знаменатель положителен — дробь отрицательна.

$-2\lt x\lt -1$: числитель отрицателен, знаменатель отрицателен — дробь положительна, подходит.

$x=-1$: дробь равна нулю — подходит.

$-1\lt x\lt 2$, $x\neq\dfrac32$: числитель положителен, знаменатель отрицателен — не подходит.

$x=\dfrac32$: числитель ноль, знаменатель не ноль — подходит.

$x\gt 2$: оба положительны — подходит.

Проверим себя. При $x=3$: числитель $108-72-9+9=36$, знаменатель $6561-82\cdot 27+9=4356$ — дробь положительна, подходит. При $x=0$: числитель $9$, знаменатель $9-82+9=-64$ — отрицательна, не подходит. При $x=-1{,}5$: числитель $(-6)^2\cdot(-0{,}5)=-18$, знаменатель $9^{-0{,}5}-82\cdot 3^{-1{,}5}+9\approx 0{,}33-15{,}8+9\lt 0$ — дробь положительна, подходит.