Первообразная — Задание 9 ЕГЭ по математике №00042021

Закрашенная фигура ограничена графиком $y=f(x)$ и осью $Ox$ на отрезке $[-9;\,-7]$, график там выше оси. Её площадь равна разности значений первообразной на концах отрезка:

$$S=F(-7)-F(-9).$$

Слагаемое $-1$ стоит в обоих значениях и при вычитании пропадает, его можно не учитывать.

Значение в точке $-7$: $(-7)^3=-343$, $(-7)^2=49$.

$$-\dfrac14\cdot(-343)-6\cdot49-\dfrac{189}{4}\cdot(-7)=\dfrac{343}{4}-294+\dfrac{1323}{4}=\dfrac{1666}{4}-294=416{,}5-294=122{,}5.$$

Значение в точке $-9$: $(-9)^3=-729$, $(-9)^2=81$.

$$-\dfrac14\cdot(-729)-6\cdot81-\dfrac{189}{4}\cdot(-9)=\dfrac{729}{4}-486+\dfrac{1701}{4}=\dfrac{2430}{4}-486=607{,}5-486=121{,}5.$$

Площадь:

$$S=122{,}5-121{,}5=1.$$

Проверка другим способом: $f(x)=F'(x)=-\dfrac34x^2-12x-\dfrac{189}{4}=-\dfrac34(x^2+16x+63)=-\dfrac34(x+7)(x+9)$. Нули $-9$ и $-7$ совпадают с рисунком. Площадь под параболой между нулями: $\dfrac{\frac34\cdot2^3}{6}=\dfrac{6}{6}=1$.