Первообразная — Задание 9 ЕГЭ по математике №00042020

Закрашенная фигура лежит над осью $Ox$ под графиком $y=f(x)$ на отрезке $[-10;\,-7]$. Площадь такой фигуры равна приращению любой первообразной (формула Ньютона — Лейбница):

$$S=F(-7)-F(-10).$$

Свободный член $-\dfrac{18}{5}$ входит в оба значения и при вычитании пропадает, поэтому считаем только остальные слагаемые.

Значение в точке $-7$: $(-7)^3=-343$, $(-7)^2=49$.

$$-\dfrac49\cdot(-343)-\dfrac{34}{3}\cdot49-\dfrac{280}{3}\cdot(-7)=\dfrac{1372}{9}-\dfrac{1666}{3}+\dfrac{1960}{3}=\dfrac{1372}{9}+\dfrac{294}{3}=\dfrac{1372+882}{9}=\dfrac{2254}{9}.$$

Значение в точке $-10$: $(-10)^3=-1000$, $(-10)^2=100$.

$$-\dfrac49\cdot(-1000)-\dfrac{34}{3}\cdot100-\dfrac{280}{3}\cdot(-10)=\dfrac{4000}{9}-\dfrac{3400}{3}+\dfrac{2800}{3}=\dfrac{4000}{9}-\dfrac{1800}{9}=\dfrac{2200}{9}.$$

Площадь:

$$S=\dfrac{2254}{9}-\dfrac{2200}{9}=\dfrac{54}{9}=6.$$

Проверка другим способом. Найдём саму функцию: $f(x)=F'(x)=-\dfrac43x^2-\dfrac{68}{3}x-\dfrac{280}{3}=-\dfrac43(x^2+17x+70)=-\dfrac43(x+7)(x+10)$. Её нули $-10$ и $-7$ — как на рисунке. Площадь под параболой $y=-a(x-p)(x-q)$ между нулями равна $\dfrac{a(q-p)^3}{6}$, у нас $\dfrac{\frac43\cdot3^3}{6}=\dfrac{36}{6}=6$.