Первообразная — Задание 9 ЕГЭ по математике №00042014

Первообразная — это функция, производная которой равна данной: $F'(x)=f(x)$. Поэтому уравнение $f(x)=0$ — то же самое, что $F'(x)=0$.

Производная равна нулю там, где касательная к графику $F(x)$ горизонтальна. На этом графике это вершины горбов и дна впадин — точки, где подъём сменяется спуском или наоборот. Каждая такая точка — одно решение.

Пройдём по графику слева направо (одна клетка — единица) и выпишем вершины:

впадина около $x\approx-2{,}6$ и горб чуть левее вертикали $x=-2$ (около $-2{,}1$) — обе левее $-2$, в отрезок не попадают;

дальше: впадина около $-1{,}1$ (касается оси $Ox$), горб около $-0{,}4$, впадина при $x=0$, горб около $0{,}4$, впадина около $0{,}8$, горб около $1{,}4$, впадина около $2{,}2$, горб около $2{,}6$, впадина около $3{,}2$, горб около $3{,}7$.

От $3{,}7$ до правого конца $x=5$ график только опускается, новых вершин нет.

На отрезке $[-2;\,4]$ получилось решений:

$$10.$$

Проверка: горбы и впадины идут строго через один — впадина, горб, впадина, горб… Внутри отрезка 5 впадин и 5 горбов, всего $10$. Точки, где график $F(x)$ пересекает ось $Ox$, мы не считали: там равна нулю сама $F(x)$, а не $f(x)$.