Рациональные… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00041793

В неравенстве две дроби с разными знаменателями. Умножать «крест-накрест» нельзя: знаки знаменателей зависят от $x$, и непонятно, менять ли знак неравенства. Поэтому переносим всё в одну часть, приводим к общему знаменателю и решаем методом интервалов.

Область допустимых значений: $x\neq 11$ и $x\neq 2$ — знаменатели не должны обращаться в ноль.

Знаменатель правой дроби запишем как $2-x=-(x-2)$, тогда $\dfrac{1}{2-x}=-\dfrac{1}{x-2}$. Переносим эту дробь влево — минус на минус даёт плюс:

$$\dfrac{7-x}{x-11}+\dfrac{1}{x-2}\le 0.$$

Общий знаменатель $(x-11)(x-2)$. Первую дробь домножаем на $(x-2)$, вторую — на $(x-11)$. Числитель:

$$(7-x)(x-2)+(x-11)=9x-14-x^{2}+x-11=-x^{2}+10x-25.$$

Вынесем минус: $-(x^{2}-10x+25)$. У трёхчлена $x^{2}-10x+25$ дискриминант $D=10^{2}-4\cdot 25=100-100=0$, корень один: $x=\dfrac{10}{2}=5$. Значит $x^{2}-10x+25=(x-5)^{2}$, и неравенство принимает вид

$$\dfrac{-(x-5)^{2}}{(x-11)(x-2)}\le 0\quad\Longleftrightarrow\quad\dfrac{(x-5)^{2}}{(x-11)(x-2)}\ge 0.$$

Разбираемся со знаками. Числитель — квадрат: он неотрицателен и равен нулю только при $x=5$. Дробь неотрицательна в двух случаях.

Первый случай: числитель равен нулю, $x=5$. Знаменатель в этой точке равен $(5-11)(5-2)=-18\neq 0$, дробь определена и равна нулю, а неравенство нестрогое — точка $5$ входит в ответ.

Второй случай: знаменатель положителен. Произведение $(x-11)(x-2)$ положительно, когда оба множителя одного знака, то есть при $x\lt 2$ или $x\gt 11$. Там числитель положителен (кроме $x=5$, которая сюда не попадает), и дробь положительна.

На промежутке $(2;11)$ знаменатель отрицателен, и дробь отрицательна везде, кроме единственной точки $x=5$.

Собираем: $(-\infty;2)\cup\{5\}\cup(11;+\infty)$.

Проверим себя. При $x=5$: слева $\dfrac{7-5}{5-11}=-\dfrac{1}{3}$, справа $\dfrac{1}{2-5}=-\dfrac{1}{3}$ — равенство, точка законно в ответе. При $x=3$ (внутри $(2;11)$, но не $5$): слева $-\dfrac{1}{2}$, справа $-1$, и неравенство $-\dfrac{1}{2}\le -1$ неверно — значит, кроме точки $5$, из промежутка $(2;11)$ ничего не берём.