Рациональные… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00041790

В неравенстве две дроби с разными знаменателями. Умножать «крест-накрест» нельзя: знаки знаменателей зависят от $x$, и непонятно, менять ли знак неравенства. Поэтому переносим всё в одну часть, приводим к общему знаменателю и решаем методом интервалов.

Область допустимых значений: $x\neq 6$ и $x\neq 2$ — знаменатели не должны обращаться в ноль.

Знаменатель правой дроби запишем как $2-x=-(x-2)$, тогда $\dfrac{1}{2-x}=-\dfrac{1}{x-2}$. Переносим эту дробь влево — минус на минус даёт плюс:

$$\dfrac{5-x}{x-6}+\dfrac{1}{x-2}\le 0.$$

Общий знаменатель $(x-6)(x-2)$. Первую дробь домножаем на $(x-2)$, вторую — на $(x-6)$. Числитель:

$$(5-x)(x-2)+(x-6)=7x-10-x^{2}+x-6=-x^{2}+8x-16.$$

Вынесем минус: $-(x^{2}-8x+16)$. У трёхчлена $x^{2}-8x+16$ дискриминант $D=8^{2}-4\cdot 16=64-64=0$, корень один: $x=\dfrac{8}{2}=4$. Значит $x^{2}-8x+16=(x-4)^{2}$, и неравенство принимает вид

$$\dfrac{-(x-4)^{2}}{(x-6)(x-2)}\le 0\quad\Longleftrightarrow\quad\dfrac{(x-4)^{2}}{(x-6)(x-2)}\ge 0.$$

Разбираемся со знаками. Числитель — квадрат: он неотрицателен и равен нулю только при $x=4$. Дробь неотрицательна в двух случаях.

Первый случай: числитель равен нулю, $x=4$. Знаменатель в этой точке равен $(4-6)(4-2)=-4\neq 0$, дробь определена и равна нулю, а неравенство нестрогое — точка $4$ входит в ответ.

Второй случай: знаменатель положителен. Произведение $(x-6)(x-2)$ положительно, когда оба множителя одного знака, то есть при $x\lt 2$ или $x\gt 6$. Там числитель положителен (кроме $x=4$, которая сюда не попадает), и дробь положительна.

На промежутке $(2;6)$ знаменатель отрицателен, и дробь отрицательна везде, кроме единственной точки $x=4$.

Собираем: $(-\infty;2)\cup\{4\}\cup(6;+\infty)$.

Проверим себя. При $x=4$: слева $\dfrac{5-4}{4-6}=-\dfrac{1}{2}$, справа $\dfrac{1}{2-4}=-\dfrac{1}{2}$ — равенство, точка законно в ответе. При $x=3$ (внутри $(2;6)$, но не $4$): слева $-\dfrac{2}{3}$, справа $-1$, и неравенство $-\dfrac{2}{3}\le -1$ неверно — значит, кроме точки $4$, из промежутка $(2;6)$ ничего не берём.