Рациональные… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00041784

В неравенстве две дроби с разными знаменателями. Умножать «крест-накрест» нельзя: знаки знаменателей зависят от $x$, и непонятно, менять ли знак неравенства. Поэтому переносим всё в одну часть, приводим к общему знаменателю и решаем методом интервалов.

Область допустимых значений: $x\neq 10$ и $x\neq 1$ — знаменатели не должны обращаться в ноль.

Знаменатель правой дроби запишем как $1-x=-(x-1)$, тогда $\dfrac{1}{1-x}=-\dfrac{1}{x-1}$. Переносим эту дробь влево — минус на минус даёт плюс:

$$\dfrac{6-x}{x-10}+\dfrac{1}{x-1}\le 0.$$

Общий знаменатель $(x-10)(x-1)$. Первую дробь домножаем на $(x-1)$, вторую — на $(x-10)$. Числитель:

$$(6-x)(x-1)+(x-10)=7x-6-x^{2}+x-10=-x^{2}+8x-16.$$

Вынесем минус: $-(x^{2}-8x+16)$. У трёхчлена $x^{2}-8x+16$ дискриминант $D=8^{2}-4\cdot 16=64-64=0$, корень один: $x=\dfrac{8}{2}=4$. Значит $x^{2}-8x+16=(x-4)^{2}$, и неравенство принимает вид

$$\dfrac{-(x-4)^{2}}{(x-10)(x-1)}\le 0\quad\Longleftrightarrow\quad\dfrac{(x-4)^{2}}{(x-10)(x-1)}\ge 0.$$

Разбираемся со знаками. Числитель — квадрат: он неотрицателен и равен нулю только при $x=4$. Дробь неотрицательна в двух случаях.

Первый случай: числитель равен нулю, $x=4$. Знаменатель в этой точке равен $(4-10)(4-1)=-18\neq 0$, дробь определена и равна нулю, а неравенство нестрогое — точка $4$ входит в ответ.

Второй случай: знаменатель положителен. Произведение $(x-10)(x-1)$ положительно, когда оба множителя одного знака, то есть при $x\lt 1$ или $x\gt 10$. Там числитель положителен (кроме $x=4$, которая сюда не попадает), и дробь положительна.

На промежутке $(1;10)$ знаменатель отрицателен, и дробь отрицательна везде, кроме единственной точки $x=4$.

Собираем: $(-\infty;1)\cup\{4\}\cup(10;+\infty)$.

Проверим себя. При $x=4$: слева $\dfrac{6-4}{4-10}=-\dfrac{1}{3}$, справа $\dfrac{1}{1-4}=-\dfrac{1}{3}$ — равенство, точка законно в ответе. При $x=5$ (внутри $(1;10)$, но не $4$): слева $-\dfrac{1}{5}$, справа $-\dfrac{1}{4}$, и неравенство $-\dfrac{1}{5}\le -\dfrac{1}{4}$ неверно — значит, кроме точки $4$, из промежутка $(1;10)$ ничего не берём.