Рациональные… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00041787

В неравенстве две дроби с разными знаменателями. Умножать «крест-накрест» нельзя: знаки знаменателей зависят от $x$, и непонятно, менять ли знак неравенства. Поэтому переносим всё в одну часть, приводим к общему знаменателю и решаем методом интервалов.

Область допустимых значений: $x\neq 5$ и $x\neq 1$ — знаменатели не должны обращаться в ноль.

Знаменатель правой дроби запишем как $1-x=-(x-1)$, тогда $\dfrac{1}{1-x}=-\dfrac{1}{x-1}$. Переносим эту дробь влево — минус на минус даёт плюс:

$$\dfrac{4-x}{x-5}+\dfrac{1}{x-1}\le 0.$$

Общий знаменатель $(x-5)(x-1)$. Первую дробь домножаем на $(x-1)$, вторую — на $(x-5)$. Числитель:

$$(4-x)(x-1)+(x-5)=5x-4-x^{2}+x-5=-x^{2}+6x-9.$$

Вынесем минус: $-(x^{2}-6x+9)$. У трёхчлена $x^{2}-6x+9$ дискриминант $D=6^{2}-4\cdot 9=36-36=0$, корень один: $x=\dfrac{6}{2}=3$. Значит $x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}$, и неравенство принимает вид

$$\dfrac{-(x-3)^{2}}{(x-5)(x-1)}\le 0\quad\Longleftrightarrow\quad\dfrac{(x-3)^{2}}{(x-5)(x-1)}\ge 0.$$

Разбираемся со знаками. Числитель — квадрат: он неотрицателен и равен нулю только при $x=3$. Дробь неотрицательна в двух случаях.

Первый случай: числитель равен нулю, $x=3$. Знаменатель в этой точке равен $(3-5)(3-1)=-4\neq 0$, дробь определена и равна нулю, а неравенство нестрогое — точка $3$ входит в ответ.

Второй случай: знаменатель положителен. Произведение $(x-5)(x-1)$ положительно, когда оба множителя одного знака, то есть при $x\lt 1$ или $x\gt 5$. Там числитель положителен (кроме $x=3$, которая сюда не попадает), и дробь положительна.

На промежутке $(1;5)$ знаменатель отрицателен, и дробь отрицательна везде, кроме единственной точки $x=3$.

Собираем: $(-\infty;1)\cup\{3\}\cup(5;+\infty)$.

Проверим себя. При $x=3$: слева $\dfrac{4-3}{3-5}=-\dfrac{1}{2}$, справа $\dfrac{1}{1-3}=-\dfrac{1}{2}$ — равенство, точка законно в ответе. При $x=2$ (внутри $(1;5)$, но не $3$): слева $-\dfrac{2}{3}$, справа $-1$, и неравенство $-\dfrac{2}{3}\le -1$ неверно — значит, кроме точки $3$, из промежутка $(1;5)$ ничего не берём.