ID: 00005313
Точка $E$ — середина ребра $BB_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
а) Докажите, что сечение куба плоскостью $D_1AE$ есть равнобокая трапеция.
б) Найдите площадь этого сечения, если ребра куба равны $4$.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Введём координаты с ребром куба $a=4$. Точка $E$ (середина $BB_1$) — середина соответствующего ребра.
Прямые, по которым секущая плоскость пересекает пару противоположных граней куба, параллельны (как линии пересечения плоскости с параллельными гранями), поэтому в сечении — трапеция; равенство боковых сторон даёт равнобокую трапецию. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Сечение проходит через точки $D_1$, $A$, $E$. Находим вершины сечения как точки пересечения плоскости с рёбрами куба.
Площадь полученной равнобокой трапеции равна $18$.
$18$