ID: 00005313
Точка E — середина ребра BB_1 куба ABCDA_1B_1C_1D_1.
а) Докажите, что сечение куба плоскостью D_1AE есть равнобокая трапеция.
б) Найдите площадь этого сечения, если ребра куба равны 4.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Введём координаты с ребром куба a=4. Точка E (середина BB_1) — середина соответствующего ребра.
Прямые, по которым секущая плоскость пересекает пару противоположных граней куба, параллельны (как линии пересечения плоскости с параллельными гранями), поэтому в сечении — трапеция; равенство боковых сторон даёт равнобокую трапецию. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Сечение проходит через точки D_1, A, E. Находим вершины сечения как точки пересечения плоскости с рёбрами куба.
Площадь полученной равнобокой трапеции равна 18.
Ответ: 18.
18