Сложное предложение с разными видами связи: определительное «которые», сочинительное «и», временно́е «когда», придаточное степени «такими… что». Разбираем цифры.

(1) Запятая нужна. «появились ценители (1) которые стали всё громче восхищаться дарованием Чехова» — определительное придаточное, перед «которые» запятая.

(2) Запятая нужна. «дарованием Чехова (2) и (3) когда он приехал… в Петербург (4) они встретили его восторгами» — здесь закрывается придаточное «которые…», и союз «и» соединяет части сложного предложения; перед «и» запятая.

(3) Запятая нужна. Стык союзов «и когда»: у придаточного «когда он приехал наконец в Петербург» нет второй части «то», поэтому запятая между «и» и «когда» ставится.

(4) Запятая нужна. «когда он приехал наконец в Петербург (4) они встретили его такими восторгами» — заканчивается придаточное времени, ставится запятая.

(5) Запятая нужна. «такими восторгами (5) что даже у него „месяца два кружилась голова“» — придаточное при слове «такими», перед «что» запятая.

Итог: запятые на всех местах — 1, 2, 3, 4 и 5.