L/C контур — Задание 15 ЕГЭ по физике №00026030

Идеальный колебательный контур состоит из конденсатора и катушки индуктивностью L. Напряжение на пластинах конденсатора меняется по закону $u(t)=U_0\sin(\omega t)$. Найдём, как выглядят сила тока в контуре и энергия магнитного поля катушки.

Для идеального LC-контура частота колебаний связана с параметрами контура формулой Томсона: $$\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}\quad\Rightarrow\quad C=\dfrac{1}{L\omega^2}$$

Заряд на конденсаторе: $q(t)=Cu(t)=\dfrac{U_0}{L\omega^2}\sin(\omega t)$. Сила тока — это производная заряда по времени: $$i(t)=\dfrac{dq}{dt}=\dfrac{U_0}{L\omega^2}\cdot\omega\cos(\omega t)=\dfrac{U_0}{\omega L}\cos(\omega t)$$ Это в точности формула 2).

Энергия магнитного поля катушки: $$W_L(t)=\dfrac{Li(t)^2}{2}=\dfrac{L}{2}\left(\dfrac{U_0}{\omega L}\right)^2\cos^2(\omega t)=\dfrac{U_0^2}{2L\omega^2}\cos^2(\omega t)$$ Это в точности формула 1).

Итог: А) $i(t)$ — формула 2), Б) $W_L(t)$ — формула 1). И всё сходится: сила тока получается дифференцированием заряда, а энергия катушки — подстановкой этого тока в формулу $Li^2/2$.