ID: 00015264
Идеальная катушка индуктивности может быть подключена к источнику постоянного напряжения с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением через резистор с сопротивлением $R=40$ Ом (см. рис.). В момент времени $t=0$ ключ К замыкают. Значения силы тока в этой электрической цепи, измеренные в последовательные моменты времени, представлены в таблице.
Из приведённого ниже списка выберите все верные утверждения о процессах, происходящих в данной электрической цепи.
1) Напряжение на резисторе в момент времени $t=0{,}5$ с равно по модулю 30 В.
2) Модуль ЭДС самоиндукции катушки в момент времени $t=0$ с равен 12 В.
3) ЭДС источника тока равна 24 В.
4) Напряжение на катушке в момент времени $t=0{,}15$ с равно по модулю 5,6 В.
5) Энергия катушки минимальна в момент времени $t=0$ с.
Запишите в ответ выбранные цифры.
Источник: ФИПИ
Разбираемся, что происходит в цепи сразу после замыкания ключа и что будет потом, когда всё «устаканится».
Что видно на рисунке. Схема — это один замкнутый контур: источник с ЭДС $\varepsilon$, ключ К, катушка индуктивности $L$ и резистор $R$ соединены последовательно. Значит, ток через резистор и через катушку в каждый момент один и тот же.
Что видно в таблице. Ток нарастает: 0 при $t=0$; 0,24 А при 0,05 с; 0,38 А при 0,1 с; 0,46 А при 0,15 с; 0,52 А при 0,2 с; 0,56 А при 0,3 с; 0,58 А при 0,4 с; и 0,60 А при 0,5 с и 0,6 с. Последние два значения совпали — ток вышел на постоянную величину и больше не меняется.
Ключевая идея. Катушка — это «инерция» для тока: она мешает ему меняться. Пока ток растёт, в катушке возникает ЭДС самоиндукции, которая тормозит рост. Когда ток перестаёт меняться, катушка ничем себя не проявляет — идеальная катушка при постоянном токе ведёт себя как обычный кусок провода с нулевым напряжением.
Из закона Ома для участка с резистором:
$$U_R = I R$$А по второму правилу Кирхгофа для контура (внутренним сопротивлением источника пренебрегаем) ЭДС источника в каждый момент распределяется между резистором и катушкой:
$$\varepsilon = U_R + U_L$$Находим ЭДС источника. К моменту $t = 0{,}5$ с ток перестал расти и равен $I_{\max} = 0{,}60$ А. Значит, напряжение на катушке стало нулевым, и вся ЭДС легла на резистор:
$$\varepsilon = I_{\max} R = 0{,}60 \cdot 40 = 24\ \text{В}$$Утверждение 1. При $t = 0{,}5$ с ток равен 0,60 А, поэтому
$$U_R = 0{,}60 \cdot 40 = 24\ \text{В}$$Получилось 24 В, а не 30 В. Утверждение неверное.
Утверждение 2. В момент $t = 0$ ток ещё нулевой, значит и напряжение на резисторе нулевое: $U_R = 0 \cdot 40 = 0$. Тогда вся ЭДС источника уравновешивается ЭДС самоиндукции катушки:
$$|\varepsilon_{si}| = \varepsilon - U_R = 24 - 0 = 24\ \text{В}$$Это 24 В, а не 12 В. Утверждение неверное.
Утверждение 3. Выше мы её и посчитали: $\varepsilon = 24$ В. Утверждение верное.
Утверждение 4. При $t = 0{,}15$ с из таблицы $I = 0{,}46$ А. Напряжение на резисторе:
$$U_R = 0{,}46 \cdot 40 = 18{,}4\ \text{В}$$Остальное приходится на катушку:
$$U_L = \varepsilon - U_R = 24 - 18{,}4 = 5{,}6\ \text{В}$$Ровно как в утверждении. Оно верное.
Утверждение 5. Энергия магнитного поля катушки равна
$$W = \frac{L I^2}{2}$$Она растёт вместе с током. В момент $t = 0$ ток равен нулю, то есть энергия равна нулю — это её наименьшее возможное значение. Утверждение верное.
Проверка себя. Логика всей задачи укладывается в две крайние точки: в самом начале ток нулевой — всё напряжение на катушке, резистору не досталось ничего; в конце ток постоянный — всё напряжение на резисторе, катушке не досталось ничего. Между этими крайностями напряжение просто делится между ними, и сумма всегда даёт 24 В.
Верны утверждения 3, 4 и 5, записываем цифры подряд по возрастанию.