Прямолинейное… — Задание 13 ЕГЭ по физике №00014806
Прямолинейное распространение света. Тень
№2. Задание 13
ID: 00014806
К потолку комнаты высотой $H=3$ м прикреплена люминесцентная лампа длиной $L=2$ м. На высоте $h=1{,}5$ м от пола параллельно ему расположен круглый непрозрачный диск диаметром $D=2$ м. Центр лампы и центр диска лежат на одной вертикали.
Найдите максимальное расстояние между крайними точками полутени на полу.
Источник: Сборник Гиголо
Решение
Идея
Свет распространяется прямолинейно, поэтому работаем как геометры: лампа — это протяжённый источник, а диск загораживает часть лучей. Если бы источник был точечным, на полу была бы просто резкая тень. Но лампа длинная, поэтому за диском получается полутень — кольцо, куда свет от части лампы доходит, а от другой части — нет.
Нас просят самые дальние точки полутени. Внешний край полутени с одной стороны очерчивает луч, который идёт от самого дальнего конца лампы и едва задевает противоположный край диска — именно такой луч уходит на полу дальше всего.
Считаем
Поставим начало координат на оси системы (там, где общая вертикаль). Высоты считаем от пола. Концы лампы на высоте $H=3$ м находятся в точках $x=\pm1$ м (длина $2$ м). Края диска на высоте $h=1{,}5$ м — в точках $x=\pm1$ м (диаметр $2$ м).
Берём левый конец лампы $A(-1;\,3)$ и правый край диска $K(+1;\,1{,}5)$. Луч $AK$ продолжаем до пола ($y=0$) и ищем его координату $x$.
Подобие треугольников (или уравнение прямой): за участок по высоте от лампы до диска $\Delta y_1 = 3-1{,}5 = 1{,}5$ м луч смещается по горизонтали на $\Delta x_1 = 1-(-1) = 2$ м. Значит наклон $k=\dfrac{2}{1{,}5}$. От диска до пола ещё $1{,}5$ м, поэтому добавится столько же — $2$ м.
$x_{\text{пол}} = 1 + 2 = 3$ м.
То есть с правой стороны крайняя точка полутени стоит на расстоянии $3$ м от оси. По симметрии слева — на $-3$ м. Полная ширина между крайними точками полутени:
$d = 2\cdot 3 = 6\ \text{м}.$