Координаты… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00042499

Неизвестное здесь $x$, а $a$ — параметр. Решим задачу на плоскости $(x;a)$: значению параметра соответствует горизонтальная прямая, а решения — абсциссы её общих точек с нужным множеством.

Шаг 1. Условия. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель определён и не равен нулю: $6-x+a\gt 0$, то есть $a\gt x-6$. На плоскости это часть выше прямой $a=x-6$ (сама прямая не входит).

Шаг 2. Числитель. Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые по парам:

$$4x^{3}-ax^{2}-24x^{2}+6ax+4a^{2}x-a^{3}=x^{2}(4x-a)-6x(4x-a)+a^{2}(4x-a)=(4x-a)\left(x^{2}-6x+a^{2}\right).$$

Нули числителя на плоскости $(x;a)$ — прямая $a=4x$ и окружность $(x-3)^{2}+a^{2}=9$ с центром $(3;0)$ и радиусом $3$.

Шаг 3. Что лежит в разрешённой полуплоскости $a\gt x-6$.

Прямая $a=4x$: $4x\gt x-6$, то есть $x\gt -2$, или $a\gt -8$.

Окружность пересекается с граничной прямой $a=x-6$ там, где $(x-3)^{2}+(x-6)^{2}=9$: $2x^{2}-18x+36=0$, $x^{2}-9x+18=0$, $x=3$ или $x=6$, то есть в точках $(3;-3)$ и $(6;0)$. Четверть окружности между ними (справа снизу от центра) лежит в запрещённой части вместе с концами, остальная окружность разрешена.

Шаг 4. Точки окружности на высоте $a$. Окружность занимает высоты $-3\le a\le 3$, и на высоте $a$ её точки $x=3\mp\sqrt{9-a^{2}}$.

— $0\lt a\lt 3$: обе точки разрешены (правая разрешена, так как $a+3\gt\sqrt{9-a^{2}}\iff 2a(a+3)\gt 0$) — две точки;

— $a=3$: одна точка $(3;3)$;

— $-3\lt a\le 0$: разрешена только левая точка (правая лежит на запрещённой четверти, при $a=0$ это выколотая точка $(6;0)$) — одна точка;

— $a=-3$: единственная точка $(3;-3)$ выколота — ни одной.

Прямая $a=4x$ добавляет точку $x=\dfrac{a}{4}$ при $a\gt -8$. С окружностью она пересекается там, где $(x-3)^{2}+16x^{2}=9$, то есть $17x^{2}-6x=0$: в точках $(0;0)$ и $\left(\dfrac{6}{17};\dfrac{24}{17}\right)$.

Шаг 5. Итог по высотам:

— $a\le -8$: решений нет;

— $-8\lt a\le -3$: окружность ничего не даёт, остаётся точка прямой — одно решение;

— $-3\lt a\lt 0$: левая точка окружности и точка прямой, они различны — два решения;

— $a=0$: левая точка окружности $(0;0)$ совпадает с точкой прямой — одно решение;

— $0\lt a\lt 3$: две точки окружности и точка прямой (при $a=\dfrac{24}{17}$ две из них совпадают) — не меньше двух решений;

— $a=3$: точка $(3;3)$ и точка прямой $\left(\dfrac{3}{4};3\right)$ — два решения;

— $a\gt 3$: только точка прямой — одно решение.

Итак, ровно одно решение при $-8\lt a\le -3$, при $a=0$ и при $a\gt 3$.

Проверим себя при $a=4$: числитель $(4x-4)\left(x^{2}-6x+16\right)$, у второго множителя дискриминант $36-64\lt 0$, остаётся $x=1$, и он допустим: $6-1+4=9\gt 0$. Решение одно. При $a=-3$: числитель $(4x+3)\left(x^{2}-6x+9\right)$, кандидаты $x=-\dfrac{3}{4}$ и $x=3$; ограничение $x\lt 3$ оставляет только $-\dfrac{3}{4}$.