Координаты… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00028817

И переменная, и параметр входят во вторых степенях, а сверху всё накрыто модулем. В такой ситуации выручает графический метод в координатах $(x;a)$: считаем параметр второй координатой, рисуем множество всех пар $(x;a)$, удовлетворяющих уравнению, и смотрим, сколько его точек лежит на горизонтальной прямой заданной высоты $a$. Метод выбран потому, что после раскрытия модуля оба случая дают уравнения окружностей.

Сначала важное ограничение. Модуль неотрицателен, значит, и правая часть обязана быть неотрицательной: $2x-2a\geq 0$, то есть $x\geq a$. Вся картинка лежит не выше прямой $a=x$.

Случай 1 — когда выражение под модулем неотрицательно. Тогда $x^{2}+a^{2}-6x+4a=2x-2a$, то есть $x^{2}-8x+a^{2}+6a=0$. Выделим полные квадраты: $(x-4)^{2}-16+(a+3)^{2}-9=0$, значит

$$(x-4)^{2}+(a+3)^{2}=25.$$

Это окружность с центром $(4;-3)$ и радиусом $5$.

Случай 2 — когда выражение под модулем отрицательно. Тогда $x^{2}+a^{2}-6x+4a=-(2x-2a)$, то есть $x^{2}-4x+a^{2}+2a=0$. Снова выделяем квадраты: $(x-2)^{2}-4+(a+1)^{2}-1=0$, значит

$$(x-2)^{2}+(a+1)^{2}=5.$$

Это окружность с центром $(2;-1)$ и радиусом $\sqrt{5}$.

Обе окружности целиком описывают решения, если помнить про ограничение $x\geq a$: от каждой берём только ту часть, что лежит правее (или на) прямой $a=x$.

Найдём, где окружности встречают эту прямую. Подставим $a=x$ в первое уравнение: $x^{2}-8x+x^{2}+6x=2x^{2}-2x=0$, откуда $x=0$ или $x=1$. Во второе: $x^{2}-4x+x^{2}+2x=2x^{2}-2x=0$ — те же значения. Значит, обе окружности «привязаны» к одним и тем же точкам $(0;0)$ и $(1;1)$, и высоты этих стыков равны $a=0$ и $a=1$.

Центры обеих окружностей лежат в разрешённой части: для первой $4\gt -3$, для второй $2\gt -1$. Поэтому у каждой окружности мы оставляем бо́льшую дугу, а меньшую (лежащую выше прямой) выбрасываем.

Посмотрим, на каких высотах вообще существует каждая окружность. Первая: центр на высоте $-3$, радиус $5$, значит, $-8\leq a\leq 2$. Вторая: центр на высоте $-1$, радиус $\sqrt{5}$, значит, $-1-\sqrt{5}\leq a\leq -1+\sqrt{5}$; в числах это примерно от $-3{,}24$ до $1{,}24$.

Теперь пробегаем уровни снизу вверх и считаем точки.

При $a\lt -8$ точек нет, при $a=-8$ ровно одна — самый низ первой окружности.

При $-8\lt a\lt -1-\sqrt{5}$ работает только первая окружность, и обе её точки сохраняются (мы ниже стыков, прямая $a=x$ здесь ничего не режет). Ровно два корня — подходит.

При $-1-\sqrt{5}\lt a\lt 0$ добавляется вторая окружность, тоже двумя точками: всего четыре — много. На уровнях $a=-1-\sqrt{5}$ и $a=0$ точек оказывается по три.

При $0\lt a\lt 1$ мы находимся между стыками: у каждой окружности одна точка отрезана прямой $a=x$, остаётся по одной. Ровно два корня — подходит.

При $1\lt a\lt -1+\sqrt{5}$ прямая снова ничего не режет, обе окружности дают по две точки — четыре, много; на уровнях $a=1$ и $a=-1+\sqrt{5}$ точек три.

При $-1+\sqrt{5}\lt a\lt 2$ вторая окружность уже закончилась, а первая даёт две точки — ровно два корня, подходит. На уровне $a=2$ точка одна, выше точек нет.

Проверим себя на $a=1{,}5$: уравнение принимает вид $|x^{2}-6x+8{,}25|=2x-3$. Если модуль снимается со знаком плюс, получаем $x^{2}-8x+11{,}25=0$ и корни $\dfrac{8\pm\sqrt{19}}{2}$, оба больше $1{,}5$ и годятся. Если со знаком минус, получаем $x^{2}-4x+5{,}25=0$, где дискриминант отрицателен. Итого два корня — всё сходится.