Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение модуль…

И переменная, и параметр входят во вторых степенях, а сверху всё накрыто модулем. В такой ситуации выручает графический метод в координатах (x;a): считаем параметр второй координатой, рисуем множество всех пар (x;a), удовлетворяющих уравнению, и смотрим, сколько его точек лежит на горизонтальной прямой заданной высоты a. Метод выбран потому, что после раскрытия модуля оба случая дают уравнения окружностей.

Сначала важное ограничение. Модуль неотрицателен, значит, и правая часть обязана быть неотрицательной: 2x-2a\geq 0, то есть x\geq a. Вся картинка лежит не выше прямой a=x.

Случай 1 — когда выражение под модулем неотрицательно. Тогда x^{2}+a^{2}-6x+4a=2x-2a, то есть x^{2}-8x+a^{2}+6a=0. Выделим полные квадраты: (x-4)^{2}-16+(a+3)^{2}-9=0, значит

(x-4)^{2}+(a+3)^{2}=25.

Это окружность с центром (4;-3) и радиусом 5.

Случай 2 — когда выражение под модулем отрицательно. Тогда x^{2}+a^{2}-6x+4a=-(2x-2a), то есть x^{2}-4x+a^{2}+2a=0. Снова выделяем квадраты: (x-2)^{2}-4+(a+1)^{2}-1=0, значит

(x-2)^{2}+(a+1)^{2}=5.

Это окружность с центром (2;-1) и радиусом \sqrt{5}.

Обе окружности целиком описывают решения, если помнить про ограничение x\geq a: от каждой берём только ту часть, что лежит правее (или на) прямой a=x.

Найдём, где окружности встречают эту прямую. Подставим a=x в первое уравнение: x^{2}-8x+x^{2}+6x=2x^{2}-2x=0, откуда x=0 или x=1. Во второе: x^{2}-4x+x^{2}+2x=2x^{2}-2x=0 — те же значения. Значит, обе окружности «привязаны» к одним и тем же точкам (0;0) и (1;1), и высоты этих стыков равны a=0 и a=1.

Центры обеих окружностей лежат в разрешённой части: для первой 4\gt -3, для второй 2\gt -1. Поэтому у каждой окружности мы оставляем бо́льшую дугу, а меньшую (лежащую выше прямой) выбрасываем.

Посмотрим, на каких высотах вообще существует каждая окружность. Первая: центр на высоте -3, радиус 5, значит, -8\leq a\leq 2. Вторая: центр на высоте -1, радиус \sqrt{5}, значит, -1-\sqrt{5}\leq a\leq -1+\sqrt{5}; в числах это примерно от -3{,}24 до 1{,}24.

Теперь пробегаем уровни снизу вверх и считаем точки.

При a\lt -8 точек нет, при a=-8 ровно одна — самый низ первой окружности.

При -8\lt a\lt -1-\sqrt{5} работает только первая окружность, и обе её точки сохраняются (мы ниже стыков, прямая a=x здесь ничего не режет). Ровно два корня — подходит.

При -1-\sqrt{5}\lt a\lt 0 добавляется вторая окружность, тоже двумя точками: всего четыре — много. На уровнях a=-1-\sqrt{5} и a=0 точек оказывается по три.

При 0\lt a\lt 1 мы находимся между стыками: у каждой окружности одна точка отрезана прямой a=x, остаётся по одной. Ровно два корня — подходит.

При 1\lt a\lt -1+\sqrt{5} прямая снова ничего не режет, обе окружности дают по две точки — четыре, много; на уровнях a=1 и a=-1+\sqrt{5} точек три.

При -1+\sqrt{5}\lt a\lt 2 вторая окружность уже закончилась, а первая даёт две точки — ровно два корня, подходит. На уровне a=2 точка одна, выше точек нет.

Проверим себя на a=1{,}5: уравнение принимает вид |x^{2}-6x+8{,}25|=2x-3. Если модуль снимается со знаком плюс, получаем x^{2}-8x+11{,}25=0 и корни \dfrac{8\pm\sqrt{19}}{2}, оба больше 1{,}5 и годятся. Если со знаком минус, получаем x^{2}-4x+5{,}25=0, где дискриминант отрицателен. Итого два корня — всё сходится.