Координаты… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00042206

Неизвестное здесь $x$, а $a$ — параметр. Решим задачу на координатной плоскости $(x;a)$: каждому значению параметра соответствует горизонтальная прямая, а корни уравнения — это абсциссы её общих точек с нужным множеством.

Шаг 1. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Свернём знаменатель: $x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}$. Получаем систему

$$\begin{cases}x^{2}-2x+a^{2}-4a=0,\\a\ne (x-2)^{2}.\end{cases}$$

Шаг 2. Выделим в числителе полные квадраты сразу по $x$ и по $a$: $x^{2}-2x+1+a^{2}-4a+4=5$, то есть

$$(x-1)^{2}+(a-2)^{2}=5.$$

Это окружность с центром $(1;2)$ и радиусом $\sqrt{5}$. Условие на знаменатель запрещает точки параболы $a=(x-2)^{2}$ с вершиной $(2;0)$.

Шаг 3. Горизонтальная прямая на высоте $a$ пересекает окружность в двух точках, если проходит строго между её нижней и верхней точками: $2-\sqrt{5}\lt a\lt 2+\sqrt{5}$. На высотах $a=2\pm\sqrt{5}$ общая точка одна, выше и ниже — ни одной.

Шаг 4. Общие точки окружности и параболы. Подставим $a=(x-2)^{2}$ в уравнение окружности. Обозначим $s=x-2$; тогда $a=s^{2}$, $x-1=s+1$, и

$$(s+1)^{2}+\left(s^{2}-2\right)^{2}=5.$$

Раскрываем: $s^{2}+2s+1+s^{4}-4s^{2}+4=5$, то есть $s^{4}-3s^{2}+2s=0$, или $s\left(s^{3}-3s+2\right)=0$.

Кубический множитель обращается в ноль при $s=1$ (сумма коэффициентов $1-3+2=0$), и $s^{3}-3s+2=(s-1)\left(s^{2}+s-2\right)=(s-1)^{2}(s+2)$.

Значит, $s\in\{0;\,1;\,-2\}$, и общие точки окружности и параболы — $(2;0)$, $(3;1)$, $(0;4)$. В точке $(3;1)$ парабола касается окружности (корень $s=1$ двойной), но выкалывать её всё равно нужно: знаменатель там равен нулю.

Шаг 5. На каждой из высот $a=0$, $a=1$, $a=4$ выколота ровно одна из двух точек окружности:

— $a=0$: числитель $x^{2}-2x=0$, точки $x=0$ и $x=2$, выколота $x=2$;

— $a=1$: $x^{2}-2x-3=0$, точки $x=-1$ и $x=3$, выколота $x=3$;

— $a=4$: $x^{2}-2x=0$, точки $x=0$ и $x=2$, выколота $x=0$ (там $(x-2)^{2}=4=a$).

На этих высотах корень один, на остальных высотах из промежутка шага 3 — два.

Итак, ровно два корня при $2-\sqrt{5}\lt a\lt 2+\sqrt{5}$, кроме $a=0$, $a=1$, $a=4$.

Проверим себя при $a=2$: числитель $x^{2}-2x-4=0$, $x=1\pm\sqrt{5}$; знаменатель $(x-2)^{2}-2$ в этих точках равен $\left(-1\pm\sqrt{5}\right)^{2}-2=4\mp 2\sqrt{5}\ne 0$. Корней два.