Четырёхугольн… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042468

Пусть $ABCD$ — данный четырёхугольник, $AC=7$, $BD=9$, а $P$ — любая точка внутри него. Разобью четыре расстояния на две пары: до концов диагонали $AC$ и до концов диагонали $BD$.

По неравенству треугольника путь из $A$ в $C$ через точку $P$ не короче прямого отрезка:

$$PA+PC\geqslant AC=7,$$

и равенство бывает только тогда, когда $P$ лежит на отрезке $AC$. Точно так же

$$PB+PD\geqslant BD=9,$$

с равенством только для точек отрезка $BD$.

Складывая, получаю, что для любой точки $PA+PB+PC+PD\geqslant7+9=16$.

Оценка достигается: в выпуклом четырёхугольнике диагонали пересекаются внутри него, и точка пересечения $O$ лежит на обоих отрезках сразу. Для неё $OA+OC=7$ и $OB+OD=9$, сумма ровно $16$. Значит, искомая точка — точка пересечения диагоналей, а минимальная сумма равна $16$.

Проверка на ромбе с диагоналями $7$ и $9$. В центре сумма $3{,}5+3{,}5+4{,}5+4{,}5=16$. Сдвинем точку на $1$ от центра вдоль диагонали длины $9$: расстояния до её концов станут $3{,}5$ и $5{,}5$ (вместе $9$), а до концов другой диагонали — по $\sqrt{3{,}5^2+1}\approx3{,}64$. Сумма $\approx16{,}28\gt16$.