Четырёхугольн… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042466

Площадь четырёхугольника удобно выразить через его диагонали и угол $\alpha$ между ними:

$$S=\dfrac12 d_1 d_2\sin\alpha.$$

Откуда эта формула. Диагонали делят четырёхугольник на четыре треугольника с общей вершиной в точке их пересечения. Площадь каждого — половина произведения двух отрезков диагоналей на синус угла между ними. Углы там равны $\alpha$ или $180^\circ-\alpha$, а синусы таких углов одинаковые. Если вынести $\dfrac12\sin\alpha$ за скобки, в скобках соберётся ровно произведение $d_1 d_2$.

Длины $d_1$ и $d_2$ заданы, меняться может только угол $\alpha$. Синус не бывает больше $1$, поэтому

$$S\le\dfrac12 d_1 d_2,$$

и это наибольшее значение достигается, когда $\sin\alpha=1$.

Угол между прямыми берут от $0^\circ$ до $90^\circ$, и синус равен $1$ только при $\alpha=90^\circ$. Значит, площадь максимальна, когда диагонали перпендикулярны.

Проверка на числах: при $d_1=6$, $d_2=10$ и угле $90^\circ$ площадь равна $\dfrac12\cdot6\cdot10=30$, а при угле $30^\circ$ — только $\dfrac12\cdot6\cdot10\cdot\dfrac12=15$.