Четырёхугольн… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042465

Углы $A$ и $C$ по отдельности не даны, но их сумму можно найти. Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$, поэтому

$$\angle A+\angle C=360^\circ-110^\circ-50^\circ=200^\circ.$$

Биссектрисы делят эти углы пополам, значит, сумма половинок вдвое меньше: $\dfrac{\angle A}{2}+\dfrac{\angle C}{2}=\dfrac{200^\circ}{2}=100^\circ$.

Пусть биссектрисы углов $A$ и $C$ пересекаются в точке $O$. Рассмотрю четырёхугольник $ABCO$. При вершине $A$ у него половина угла $A$, при вершине $C$ — половина угла $C$, при вершине $B$ — весь угол $B$, а при вершине $O$ — угол $AOC$ между биссектрисами.

Сумма углов четырёхугольника $ABCO$ тоже $360^\circ$, отсюда

$$\angle AOC=360^\circ-110^\circ-100^\circ=150^\circ.$$

Две пересекающиеся прямые образуют пары вертикальных углов: $150^\circ$ и смежный с ним $180^\circ-150^\circ=30^\circ$. Острый из них равен $30^\circ$.

Проверю общей формулой. Если в ту же выкладку подставить $\angle A+\angle C=360^\circ-\angle B-\angle D$, получится $\angle AOC=180^\circ-\dfrac{\angle B-\angle D}{2}$. Значит, острый угол между биссектрисами равен полуразности двух других углов: $\dfrac{110^\circ-50^\circ}{2}=30^\circ$ — совпало.

Ещё одна проверка: ответ не зависит от того, как $200^\circ$ делятся между углами $A$ и $C$. Я построил четырёхугольники с углами $A=C=100^\circ$ и $A=120^\circ$, $C=80^\circ$ — в обоих угол между биссектрисами вышел $30^\circ$.