Использовани… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00042204

Неизвестное здесь $x$, а $a$ — параметр. При $a=1$ дроби не определены, поэтому $a\ne 1$.

Шаг 1. Замена $t=5^{|x|}$. Так как $|x|\ge 0$, то $t\ge 1$. Значение $t=1$ даёт один корень $x=0$, каждое значение $t\gt 1$ — два корня $x=\pm\log_{5}t$. Поскольку $25^{|x|}=t^{2}$, после умножения на $a-1$ уравнение принимает вид

$$(a-1)t^{2}-4at+5a+3=0.$$

Шаг 2. Выразим параметр. Соберём слагаемые с $a$ в одной части:

$$a\left(t^{2}-4t+5\right)=t^{2}-3.$$

Выражение $t^{2}-4t+5=(t-2)^{2}+1$ положительно при всех $t$, на него можно делить:

$$a=h(t),\qquad h(t)=\dfrac{t^{2}-3}{t^{2}-4t+5}.$$

Значит, число корней $t\ge 1$ при данном $a$ — это число точек, в которых горизонтальная прямая на высоте $a$ пересекает график $y=h(t)$ при $t\ge 1$. Значение $a=1$ при этом исключаем отдельно: исходное уравнение при нём не определено.

Шаг 3. Исследуем $h(t)$ с помощью производной частного:

$$h'(t)=\dfrac{2t\left(t^{2}-4t+5\right)-\left(t^{2}-3\right)(2t-4)}{\left(t^{2}-4t+5\right)^{2}}.$$

Раскрываем числитель: $2t^{3}-8t^{2}+10t-\left(2t^{3}-4t^{2}-6t+12\right)=-4t^{2}+16t-12=-4(t-1)(t-3)$.

При $1\lt t\lt 3$ производная положительна — $h$ возрастает; при $t\gt 3$ отрицательна — $h$ убывает. Значения в характерных точках:

$$h(1)=\dfrac{-2}{2}=-1,\qquad h(3)=\dfrac{6}{2}=3,\qquad \lim_{t\to+\infty}h(t)=1.$$

При этом $h(t)-1=\dfrac{4t-8}{t^{2}-4t+5}\gt 0$ при $t\gt 2$, так что на участке $t\gt 3$ функция убывает от $3$, приближаясь к $1$, но оставаясь больше $1$.

Шаг 4. Считаем корни $x$ (точка с $t\gt 1$ даёт два корня, точка $t=1$ — один):

— $a\lt -1$ или $a\gt 3$: пересечений нет, корней нет;

— $a=-1$: только $t=1$ — один корень $x=0$;

— $-1\lt a\le 1$: одна точка на участке $(1;3)$, а правый участок лежит выше уровня $1$ — два корня $x$; значение $a=1$ исключено;

— $1\lt a\lt 3$: две точки, по одной на каждом участке, — четыре корня $x$;

— $a=3$: одна точка $t=3$ — два корня $x=\pm\log_{5}3$.

Итак, ровно два корня при $-1\lt a\lt 1$ и при $a=3$.

Проверим себя. При $a=0$ уравнение $-t^{2}+3=0$ даёт $t=\sqrt{3}\gt 1$ — два корня $x$. При $a=3$ получаем $2t^{2}-12t+18=0$, то есть $(t-3)^{2}=0$ — снова два корня $x=\pm\log_{5}3$.