Задание 18 ЕГЭ по математике: Найдите все положительные значения a , при каждом из которых…

Решение системы — это пара чисел (x;y), подходящая обоим уравнениям. Второе уравнение задаёт y через x, поэтому вся система сведётся к одному уравнению с одной неизвестной, а параметр a будет играть роль «уровня», который мы подбираем.

Метод назову словами: исследование функции с помощью производной и графическая интерпретация. Идея такая: подстановкой сводим систему к уравнению вида f(x)=a. Число решений тогда — это число точек, в которых горизонтальная прямая на уровне a пересекает график функции f. Чтобы понять картину, достаточно найти, где f растёт, где убывает и каковы её опорные значения. Разбирать модуль по случаям здесь тоже придётся, но производная сразу покажет, где спрятан «горб».

Шаг 1. Область определения и упрощение. Под квадратным корнем должно стоять неотрицательное число: x+4\ge 0, то есть x\ge -4.

Кроме того, арифметический квадратный корень сам всегда неотрицателен, значит y\ge 0, а тогда |y|=y. Это важное упрощение: один модуль исчезает сам собой.

Подставляем y=\sqrt{x+4} в первое уравнение и получаем одно уравнение с одной неизвестной:

|x|+\sqrt{x+4}=a,\qquad x\ge -4.

Обозначим левую часть через f(x)=|x|+\sqrt{x+4}.

Шаг 2. Разбираем модуль. Он ведёт себя по-разному слева и справа от нуля.

Случай 1 — когда -4\le x\le 0. Тогда |x|=-x, и f(x)=-x+\sqrt{x+4}.

Случай 2 — когда x\ge 0. Тогда |x|=x, и f(x)=x+\sqrt{x+4}.

Шаг 3. Исследуем второй случай — он проще. Здесь и слагаемое x растёт, и слагаемое \sqrt{x+4} растёт, значит f строго возрастает на всём луче x\ge 0. Её значение в начале луча: f(0)=0+\sqrt{4}=2. Дальше значения неограниченно увеличиваются. Вывод: на этом куске уравнение f(x)=a имеет ровно одно решение при a\ge 2 и ни одного при a\lt 2.

Шаг 4. Исследуем первый случай. Найдём производную функции f(x)=-x+\sqrt{x+4}. Производная от -x равна -1, а производная от \sqrt{x+4} равна \dfrac{1}{2\sqrt{x+4}}. Значит,

f'(x)=-1+\dfrac{1}{2\sqrt{x+4}}.

Приравняем к нулю: \dfrac{1}{2\sqrt{x+4}}=1, то есть 2\sqrt{x+4}=1, откуда \sqrt{x+4}=\dfrac{1}{2} и x+4=\dfrac{1}{4}, значит x=-\dfrac{15}{4}=-3{,}75.

Разберёмся со знаками. Если x левее этой точки, то \sqrt{x+4} меньше \dfrac{1}{2}, дробь \dfrac{1}{2\sqrt{x+4}} больше единицы, и производная положительна — функция растёт. Если правее, дробь меньше единицы и производная отрицательна — функция убывает. Значит, в точке x=-\dfrac{15}{4} у функции максимум.

Посчитаем опорные значения: f(-4)=|-4|+\sqrt{0}=4; в точке максимума f\left(-\dfrac{15}{4}\right)=\dfrac{15}{4}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{15}{4}+\dfrac{2}{4}=\dfrac{17}{4}; и f(0)=2.

Шаг 5. Собираем портрет функции. На отрезке от -4 до -\dfrac{15}{4} она поднимается от 4 до \dfrac{17}{4} (это 4{,}25). Затем от -\dfrac{15}{4} до 0 опускается от \dfrac{17}{4} до 2. И дальше, правее нуля, неограниченно растёт от 2.

Теперь просто смотрим, сколько раз горизонтальный уровень a встречает этот график.

При 0\lt a\lt 2: уровень ниже всех значений функции. Решений нет.

При a=2: уровень касается графика только в точке x=0 — это самая нижняя точка. Одно решение.

При 2\lt a\lt 4: одна встреча на убывающем куске (значения там пробегают от 2 до \dfrac{17}{4}) и одна на возрастающем луче. На первом, поднимающемся кусочке значения не опускаются ниже 4, поэтому там встреч нет. Итого два решения — подходит.

При a=4: добавляется левый конец x=-4, где значение как раз равно 4. Вместе с двумя прежними получается три решения — не подходит.

При 4\lt a\lt \dfrac{17}{4}: уровень пересекает и поднимающийся кусочек, и убывающий, и правый луч. Три решения — не подходит.

При a=\dfrac{17}{4}: поднимающийся и убывающий куски встречаются с уровнем в одной и той же точке — в вершине x=-\dfrac{15}{4}. Плюс одна точка на правом луче. Итого два различных решения — подходит.

При a\gt \dfrac{17}{4}: слева уровень уже выше максимума, встреч там нет, остаётся только правый луч. Одно решение — не подходит.

Шаг 6. Собираем ответ: подходят все a строго между 2 и 4, а также отдельное значение a=\dfrac{17}{4}. Все они положительны, как и требовалось.

Проверим себя при a=3. Уравнение |x|+\sqrt{x+4}=3. На правом луче: x+\sqrt{x+4}=3; при x=0 слева 2, при x=1 слева 1+\sqrt{5}\approx 3{,}24 — значит корень есть между ними. На левом куске: при x=-1 получаем 1+\sqrt{3}\approx 2{,}73, при x=-2 получаем 2+\sqrt{2}\approx 3{,}41 — значит корень есть и там. А вблизи x=-4 значения около четырёх, до тройки они не опускаются. Ровно два решения — сходится.