Использовани… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00028829

Решение системы — это пара чисел $(x;y)$, подходящая обоим уравнениям. Второе уравнение задаёт $y$ через $x$, поэтому вся система сведётся к одному уравнению с одной неизвестной, а параметр $a$ будет играть роль «уровня», который мы подбираем.

Метод назову словами: исследование функции с помощью производной и графическая интерпретация. Идея такая: подстановкой сводим систему к уравнению вида $f(x)=a$. Число решений тогда — это число точек, в которых горизонтальная прямая на уровне $a$ пересекает график функции $f$. Чтобы понять картину, достаточно найти, где $f$ растёт, где убывает и каковы её опорные значения. Разбирать модуль по случаям здесь тоже придётся, но производная сразу покажет, где спрятан «горб».

Шаг 1. Область определения и упрощение. Под квадратным корнем должно стоять неотрицательное число: $x+4\ge 0$, то есть $x\ge -4$.

Кроме того, арифметический квадратный корень сам всегда неотрицателен, значит $y\ge 0$, а тогда $|y|=y$. Это важное упрощение: один модуль исчезает сам собой.

Подставляем $y=\sqrt{x+4}$ в первое уравнение и получаем одно уравнение с одной неизвестной:

$$|x|+\sqrt{x+4}=a,\qquad x\ge -4.$$

Обозначим левую часть через $f(x)=|x|+\sqrt{x+4}$.

Шаг 2. Разбираем модуль. Он ведёт себя по-разному слева и справа от нуля.

Случай 1 — когда $-4\le x\le 0$. Тогда $|x|=-x$, и $f(x)=-x+\sqrt{x+4}$.

Случай 2 — когда $x\ge 0$. Тогда $|x|=x$, и $f(x)=x+\sqrt{x+4}$.

Шаг 3. Исследуем второй случай — он проще. Здесь и слагаемое $x$ растёт, и слагаемое $\sqrt{x+4}$ растёт, значит $f$ строго возрастает на всём луче $x\ge 0$. Её значение в начале луча: $f(0)=0+\sqrt{4}=2$. Дальше значения неограниченно увеличиваются. Вывод: на этом куске уравнение $f(x)=a$ имеет ровно одно решение при $a\ge 2$ и ни одного при $a\lt 2$.

Шаг 4. Исследуем первый случай. Найдём производную функции $f(x)=-x+\sqrt{x+4}$. Производная от $-x$ равна $-1$, а производная от $\sqrt{x+4}$ равна $\dfrac{1}{2\sqrt{x+4}}$. Значит,

$$f'(x)=-1+\dfrac{1}{2\sqrt{x+4}}.$$

Приравняем к нулю: $\dfrac{1}{2\sqrt{x+4}}=1$, то есть $2\sqrt{x+4}=1$, откуда $\sqrt{x+4}=\dfrac{1}{2}$ и $x+4=\dfrac{1}{4}$, значит $x=-\dfrac{15}{4}=-3{,}75$.

Разберёмся со знаками. Если $x$ левее этой точки, то $\sqrt{x+4}$ меньше $\dfrac{1}{2}$, дробь $\dfrac{1}{2\sqrt{x+4}}$ больше единицы, и производная положительна — функция растёт. Если правее, дробь меньше единицы и производная отрицательна — функция убывает. Значит, в точке $x=-\dfrac{15}{4}$ у функции максимум.

Посчитаем опорные значения: $f(-4)=|-4|+\sqrt{0}=4$; в точке максимума $f\left(-\dfrac{15}{4}\right)=\dfrac{15}{4}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{15}{4}+\dfrac{2}{4}=\dfrac{17}{4}$; и $f(0)=2$.

Шаг 5. Собираем портрет функции. На отрезке от $-4$ до $-\dfrac{15}{4}$ она поднимается от $4$ до $\dfrac{17}{4}$ (это $4{,}25$). Затем от $-\dfrac{15}{4}$ до $0$ опускается от $\dfrac{17}{4}$ до $2$. И дальше, правее нуля, неограниченно растёт от $2$.

Теперь просто смотрим, сколько раз горизонтальный уровень $a$ встречает этот график.

При $0\lt a\lt 2$: уровень ниже всех значений функции. Решений нет.

При $a=2$: уровень касается графика только в точке $x=0$ — это самая нижняя точка. Одно решение.

При $2\lt a\lt 4$: одна встреча на убывающем куске (значения там пробегают от $2$ до $\dfrac{17}{4}$) и одна на возрастающем луче. На первом, поднимающемся кусочке значения не опускаются ниже $4$, поэтому там встреч нет. Итого два решения — подходит.

При $a=4$: добавляется левый конец $x=-4$, где значение как раз равно $4$. Вместе с двумя прежними получается три решения — не подходит.

При $4\lt a\lt \dfrac{17}{4}$: уровень пересекает и поднимающийся кусочек, и убывающий, и правый луч. Три решения — не подходит.

При $a=\dfrac{17}{4}$: поднимающийся и убывающий куски встречаются с уровнем в одной и той же точке — в вершине $x=-\dfrac{15}{4}$. Плюс одна точка на правом луче. Итого два различных решения — подходит.

При $a\gt \dfrac{17}{4}$: слева уровень уже выше максимума, встреч там нет, остаётся только правый луч. Одно решение — не подходит.

Шаг 6. Собираем ответ: подходят все $a$ строго между $2$ и $4$, а также отдельное значение $a=\dfrac{17}{4}$. Все они положительны, как и требовалось.

Проверим себя при $a=3$. Уравнение $|x|+\sqrt{x+4}=3$. На правом луче: $x+\sqrt{x+4}=3$; при $x=0$ слева $2$, при $x=1$ слева $1+\sqrt{5}\approx 3{,}24$ — значит корень есть между ними. На левом куске: при $x=-1$ получаем $1+\sqrt{3}\approx 2{,}73$, при $x=-2$ получаем $2+\sqrt{2}\approx 3{,}41$ — значит корень есть и там. А вблизи $x=-4$ значения около четырёх, до тройки они не опускаются. Ровно два решения — сходится.