«Неравенство верно при ВСЕХ x» означает, что выражение \sin x\,(\alpha-\cos2x) по модулю не превосходит 1 для любого x: |\sin x\,(\alpha-\cos2x)|\le1.

Сведём всё к синусу. Используем \cos2x=1-2\sin^2x и замену t=\sin x, где t пробегает [-1;1]. Тогда \alpha-\cos2x=\alpha-1+2t^2, и выражение становится многочленом:

g(t)=t\,(\alpha-1+2t^2)=2t^3+(\alpha-1)t.

Функция g(t) нечётна, поэтому достаточно потребовать |g(t)|\le1 на [0;1] (на [-1;0] всё симметрично).

На [0;1] ведём себя так: проверяем значение на конце g(1)=\alpha+1 и значение в точке минимума (при \alpha\lt 1 производная g'(t)=6t^2+(\alpha-1) обращается в нуль в t_*=\sqrt{\tfrac{1-\alpha}{6}}).

Из условия g(1)\le1 получаем \alpha\le0. Из условия, что минимум g(t_*)\ge-1, после упрощения выходит \alpha\ge1-\dfrac32\sqrt[3]{4}.

Объединяя оба условия, получаем \alpha\in\left[\,1-\dfrac32\sqrt[3]{4};\ 0\,\right].