ID: 00003344
Найдите все значения $\alpha$, при каждом из которых неравенство $-1\le\sin x\,(\alpha-\cos 2x)\le1$ верно при всех действительных значениях $x$.
Источник: ФИПИ
«Неравенство верно при ВСЕХ $x$» означает, что выражение $\sin x\,(\alpha-\cos2x)$ по модулю не превосходит $1$ для любого $x$: $|\sin x\,(\alpha-\cos2x)|\le1$.
Сведём всё к синусу. Используем $\cos2x=1-2\sin^2x$ и замену $t=\sin x$, где $t$ пробегает $[-1;1]$. Тогда $\alpha-\cos2x=\alpha-1+2t^2$, и выражение становится многочленом:
$$g(t)=t\,(\alpha-1+2t^2)=2t^3+(\alpha-1)t.$$
Функция $g(t)$ нечётна, поэтому достаточно потребовать $|g(t)|\le1$ на $[0;1]$ (на $[-1;0]$ всё симметрично).
На $[0;1]$ ведём себя так: проверяем значение на конце $g(1)=\alpha+1$ и значение в точке минимума (при $\alpha\lt 1$ производная $g'(t)=6t^2+(\alpha-1)$ обращается в нуль в $t_*=\sqrt{\tfrac{1-\alpha}{6}}$).
Из условия $g(1)\le1$ получаем $\alpha\le0$. Из условия, что минимум $g(t_*)\ge-1$, после упрощения выходит $\alpha\ge1-\dfrac32\sqrt[3]{4}$.
Объединяя оба условия, получаем $\alpha\in\left[\,1-\dfrac32\sqrt[3]{4};\ 0\,\right]$.
$\left[\,1-1{,}5\sqrt[3]{4};\ 0\,\right]$