Задание 15 ЕГЭ по математике №00013656

Задание №15. Стереометрическая задача

Сечения призм

№2. Задание 15

ID: 00013656

В правильной треугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶 с основанием 𝐴𝐵𝐶 точки 𝑀 и 𝐾 – середины рёбер 𝐴𝐵 и 𝑆𝐶 соответственно, а точки 𝑁 и 𝐿 отмечены на рёбрах 𝑆𝐴 и 𝐵𝐶 соответственно так, что отрезки 𝑀𝐾 и 𝑁𝐿 пересекаются, а 2𝐴𝑁 = 3𝑁𝑆.

а) Докажите, что прямые 𝑀𝑁, 𝐾𝐿 и 𝑆𝐵 пересекаются в одной точке.

б) Найдите отношение 𝐵𝐿 : 𝐿𝐶.

Источник: ФИПИ

Решение

Пункт а (доказательство).

Введём координаты правильной пирамиды $$SABC$$ . $$M,K$$ — середины $$AB,SC$$ ; $$R$$ на продолжении $$SB$$ за $$S$$ .

Прямые $$MK$$ и $$NL$$ лежат в одной плоскости (через $$R$$ ), поэтому пересекаются; точка их пересечения вместе с $$S$$ задаёт нужную конфигурацию. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Из условия $$BL:LC=3:2$$ и коллинеарности $$R,K,L$$ находим $$R$$ , затем $N=RM\cap AS$ .

Получаем $$AN:NS=3:2$$ .

Ответ

3:2

Видеоразбор

Другие задания по теме «Сечения призм» (8)