ID: 00013656
В правильной треугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶 с основанием 𝐴𝐵𝐶 точки 𝑀 и 𝐾 – середины рёбер 𝐴𝐵 и 𝑆𝐶 соответственно, а точки 𝑁 и 𝐿 отмечены на рёбрах 𝑆𝐴 и 𝐵𝐶 соответственно так, что отрезки 𝑀𝐾 и 𝑁𝐿 пересекаются, а 2𝐴𝑁 = 3𝑁𝑆.
а) Докажите, что прямые 𝑀𝑁, 𝐾𝐿 и 𝑆𝐵 пересекаются в одной точке.
б) Найдите отношение 𝐵𝐿 : 𝐿𝐶.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Введём координаты правильной пирамиды $SABC$. $M,K$ — середины $AB,SC$; $R$ на продолжении $SB$ за $S$.
Прямые $MK$ и $NL$ лежат в одной плоскости (через $R$), поэтому пересекаются; точка их пересечения вместе с $S$ задаёт нужную конфигурацию. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Из условия $BL:LC=3:2$ и коллинеарности $R,K,L$ находим $R$, затем $N=RM\cap AS$.
Получаем $AN:NS=3:2$.
3:2