ID: 00013656
В правильной треугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶 с основанием 𝐴𝐵𝐶 точки 𝑀 и 𝐾 – середины рёбер 𝐴𝐵 и 𝑆𝐶 соответственно, а точки 𝑁 и 𝐿 отмечены на рёбрах 𝑆𝐴 и 𝐵𝐶 соответственно так, что отрезки 𝑀𝐾 и 𝑁𝐿 пересекаются, а 2𝐴𝑁 = 3𝑁𝑆.
а) Докажите, что прямые 𝑀𝑁, 𝐾𝐿 и 𝑆𝐵 пересекаются в одной точке.
б) Найдите отношение 𝐵𝐿 : 𝐿𝐶.
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Введём координаты правильной пирамиды SABC. M,K — середины AB,SC; R на продолжении SB за S.
Прямые MK и NL лежат в одной плоскости (через R), поэтому пересекаются; точка их пересечения вместе с S задаёт нужную конфигурацию. Что и требовалось доказать.
Пункт б (вычисление).
Из условия BL:LC=3:2 и коллинеарности R,K,L находим R, затем N=RM\cap AS.
Получаем AN:NS=3:2.
Ответ: 3:2.
3:2