Задание 4 ЕГЭ по математике №00041921
Формула полной вероятности
№2. Задание 4
ID: 00041921
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,03. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что неисправная батарейка будет забракована, равна 0,97. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,02. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована системой контроля.
Источник: Сборник Ященко 2027
Решение
Батарейку бракуют в двух несовместных случаях, поэтому вероятность брака — сумма вероятностей этих случаев (формула полной вероятности).
Первый случай: батарейка неисправна и система её забраковала. Неисправна она с вероятностью $0{,}03$, а неисправную бракуют с вероятностью $0{,}97$. Должны выполниться оба условия, поэтому перемножаю:
$$0{,}03\cdot0{,}97=0{,}0291.$$
Второй случай: батарейка исправна, но система по ошибке её забраковала. Исправна батарейка с вероятностью $1-0{,}03=0{,}97$, ошибочный брак случается с вероятностью $0{,}02$:
$$0{,}97\cdot0{,}02=0{,}0194.$$
Складываю вероятности двух случаев:
$$P=0{,}0291+0{,}0194=0{,}0485.$$
Проверка на $10\,000$ батареек. Неисправных $300$, из них забракуют $300\cdot0{,}97=291$. Исправных $9700$, по ошибке забракуют $9700\cdot0{,}02=194$. Всего в браке $291+194=485$, а $\dfrac{485}{10\,000}=0{,}0485$.