Как решаем. Для каждого слова находим орфограмму — место, где можно ошибиться, — определяем правило (приставка, корень, суффикс, окончание или спряжение) и решаем, какую букву вставить. Затем выбираем номера слов, где пишется буква «Е».

(1) летящее — буква «е»: безударное окончание прилагательного/причастия проверяем вопросом от существительного (какой? какому? какие?); причастие ср. рода (какое?) → -ее

(2) развевающаяся — буква «е»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; от «вЕять» (по ветру); не путать с «развИваться»

(3) жизни — буква «и»: безударное падежное окончание существительного — определяем склонение и падеж; сущ. 3-го склонения, дат. падеж → -и

(4) тянется — буква «е»: безударное личное окончание глагола: у глаголов I спряжения пишем Е (-ешь, -ет, -ем, -ете, -ют/-ут), у II спряжения — И (-ишь, -ит, -им, -ите, -ат/-ят); «тянуться» — I спряжение → -ется

(5) примеряет — буква «и»: приставки ПРЕ-/ПРИ- по значению: ПРИ- — приближение, присоединение, неполнота действия, близость; ПРЕ- — значение «очень» или близкое к ПЕРЕ-; приставка при- (примерять наряды = пробовать)

(6) летние — буква «и»: безударное окончание прилагательного/причастия проверяем вопросом от существительного (какой? какому? какие?); «наряды (какие?) летние» → -ие

(7) жалея — буква «а»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; проверяем «жАль»

(8) преображает — буква «е»: приставки ПРЕ-/ПРИ- по значению: ПРИ- — приближение, присоединение, неполнота действия, близость; ПРЕ- — значение «очень» или близкое к ПЕРЕ-; приставка пре- (близкое к пере-)

(9) увидеть — буква «е»: гласная в суффиксе глагола: если в форме 1-го лица суффикс выпадает (-ую/-юю), пишем -ова-/-ева-; если сохраняется — -ыва-/-ива-; инфинитив «видеть» — суффикс -е-

Итог. Буква «Е» нужна в словах под номерами 1, 2, 4, 8, 9.