В словосочетании «увлечённо читал» главное слово — «читал», а зависимое — наречие «увлечённо»; это слово неизменяемо и связано с главным только по смыслу, — поэтому это связь примыкание.

Чтобы получить управление, главное слово «читал» оставляем без изменения, а зависимое слово «увлечённо» заменяем однокоренным существительным и ставим его в нужный падеж (при необходимости с предлогом).

При управлении главное слово требует от зависимого существительного определённого падежа («с увлечением»), и при изменении главного слова этот падеж не меняется.

Получаем синонимичное словосочетание «читал с увлечением» со связью управление.