Как решаем. Для каждого слова находим орфограмму — место, где можно ошибиться, — определяем правило (приставка, корень, суффикс, окончание или спряжение) и решаем, какую букву вставить. Затем выбираем номера слов, где пишется буква «И».

(1) темно — буква «е»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; проверяем «тёмный»

(2) ни — буква «и»: НЕ/НИ со словом: слитно или раздельно по части речи и условиям (зависимое слово, противопоставление, частица); «как ни странно» — устойчивое сочетание: частица НИ

(3) прожорливых — буква «и»: гласная в суффиксе прилагательного (-ев-/-ив-, -чив-/-лив-, -еньк-/-оньк- и т.п.); суффикс -лив-

(4) мошек — буква «е»: суффикс существительного: -ек- (беглая е при склонении) / -ик- (гласная сохраняется); -чик-/-щик-; беглая гласная е (мошка — мошек)

(5) летавших — буква «и»: безударное окончание прилагательного/причастия проверяем вопросом от существительного (какой? какому? какие?); причастие, род. падеж мн. ч. (каких?) → -их

(6) вперемешку — буква «е»: неизменяемые приставки пишутся всегда одинаково независимо от произношения (с-, по-, до-, под-, над-, об-, от-, пере- и др.); наречие с приставкой пере- → Е

(7) ничего — буква «и»: НЕ/НИ со словом: слитно или раздельно по части речи и условиям (зависимое слово, противопоставление, частица); местоимение «ничего», приставка ни- безударная → И

(8) избушки — буква «и»: безударное падежное окончание существительного — определяем склонение и падеж; 1-е склонение, род. падеж (до избушки) → -и

(9) заночевать — буква «е»: гласная в суффиксе глагола: если в форме 1-го лица суффикс выпадает (-ую/-юю), пишем -ова-/-ева-; если сохраняется — -ыва-/-ива-; суффикс -ева- (заночую) → -ева-

Итог. Буква «И» нужна в словах под номерами 2, 3, 5, 7, 8.