Как решаем. Для каждого слова находим орфограмму — место, где можно ошибиться, — определяем правило (приставка, корень, суффикс, окончание или спряжение) и решаем, какую букву вставить. Затем выбираем номера слов, где пишется буква «Е».

(1) несмотря — буква «е»: НЕ/НИ со словом: слитно или раздельно по части речи и условиям (зависимое слово, противопоставление, частица); предлог «несмотря на» — пишется слитно, с Е

(2) раннее — буква «е»: безударное окончание прилагательного/причастия проверяем вопросом от существительного (какой? какому? какие?); «время (какое?) раннее» → -ее

(3) лаяли — буква «я»: гласная перед суффиксом -л- прошедшего времени — та же, что в инфинитиве перед -ть; «лаять» → перед -л- сохраняется -я- инфинитива

(4) привычке — буква «е»: безударное падежное окончание существительного — определяем склонение и падеж; 1-е склонение, дат. падеж (по привычке) → -е

(5) отдалении — буква «и»: безударное падежное окончание существительного — определяем склонение и падеж; сущ. на -ие, предл. падеж → -ии

(6) увидели — буква «е»: гласная перед суффиксом -л- прошедшего времени — та же, что в инфинитиве перед -ть; «увидеть» → перед -л- сохраняется Е инфинитива

(7) штукатуренными — буква «е»: перед -нн-/-н- в причастии сохраняется гласная инфинитива (-а-/-я- → -а/-я+нн; от глаголов на -ить → -енн-); от «штукатурить» (на -ить) → суффикс -енн-

(8) не — буква «е»: НЕ/НИ со словом: слитно или раздельно по части речи и условиям (зависимое слово, противопоставление, частица); «не что иное, как…» — пишется НЕ

(9) мельница — буква «и»: суффикс существительного: -ек- (беглая е при склонении) / -ик- (гласная сохраняется); -чик-/-щик-; суффикс -иц-

Итог. Буква «Е» нужна в словах под номерами 1, 2, 4, 6, 7, 8.