Как решаем. Для каждого слова находим орфограмму — место, где можно ошибиться, — определяем правило (приставка, корень, суффикс, окончание или спряжение) и решаем, какую букву вставить. Затем выбираем номера слов, где пишется буква «Е».

(1) сияет — буква «е»: безударное личное окончание глагола: у глаголов I спряжения пишем Е (-ешь, -ет, -ем, -ете, -ют/-ут), у II спряжения — И (-ишь, -ит, -им, -ите, -ат/-ят); «сиять» — I спряжение → -ет

(2) недавнего — буква «е»: безударное окончание прилагательного/причастия проверяем вопросом от существительного (какой? какому? какие?); «ливня (какого?) недавнего» → -его

(3) цветы — буква «е»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; проверяем «цвЕт»

(4) цикория — буква «и»: Ы/И после Ц: в корне обычно И (цирк), в окончаниях и суффиксе -ын- — Ы; слова-исключения цыган-цыпочки-цыплёнок-цыкнуть-цыц; после ц в корне → И (цикорий)

(5) приятель — буква «и»: непроверяемая (словарная) гласная в корне — запоминаем написание; словарное «приятель»

(6) забирается — буква «и»: чередующаяся гласная в корне: выбор буквы зависит от суффикса -а-, конечной согласной корня, ударения или значения (бер/бир, стел/стил, тер/тир, мер/мир, лаг/лож, кас/кос, раст/ращ/рос, гар/гор, зар/зор, клан/клон, скак/скоч и т.п.); корень -бер-/-бир-: есть суффикс -а- → -бир-

(7) продолжаем — буква «е»: безударное личное окончание глагола: у глаголов I спряжения пишем Е (-ешь, -ет, -ем, -ете, -ют/-ут), у II спряжения — И (-ишь, -ит, -им, -ите, -ат/-ят); «продолжать» — I спряжение → -ем

(8) взимая — буква «и»: Ы/И после приставки на согласную: И → Ы (играть → сыграть); после меж-, сверх-, иноязычных приставок и в сложных словах И сохраняется; «взимать» — исключение, после приставки пишется И

(9) природы — буква «и»: непроверяемая (словарная) гласная в корне — запоминаем написание; словарное «природа»

Итог. Буква «Е» нужна в словах под номерами 1, 2, 3, 7.