В словосочетании «гордо ответил» главное слово — «ответил», а зависимое — наречие «гордо»; это слово неизменяемо и связано с главным только по смыслу, — поэтому это связь примыкание.

Чтобы получить управление, главное слово «ответил» оставляем без изменения, а зависимое слово «гордо» заменяем однокоренным существительным и ставим его в нужный падеж (при необходимости с предлогом).

При управлении главное слово требует от зависимого существительного определённого падежа («с гордостью»), и при изменении главного слова этот падеж не меняется.

Получаем синонимичное словосочетание «ответил с гордостью» со связью управление.