Как решаем. Для каждого слова находим орфограмму — место, где можно ошибиться, — определяем правило (приставка, корень, суффикс, окончание или спряжение) и решаем, какую букву вставить. Затем выбираем номера слов, где пишется буква «Е».

(1) предстоящей — буква «е»: безударное окончание прилагательного/причастия проверяем вопросом от существительного (какой? какому? какие?); «встрече (какой?) предстоящей» → -ей

(2) встрече — буква «е»: безударное падежное окончание существительного — определяем склонение и падеж; 1-е склонение, дат. падеж → -е

(3) ничего — буква «и»: НЕ/НИ со словом: слитно или раздельно по части речи и условиям (зависимое слово, противопоставление, частица); местоимение «ничего», приставка ни- безударная → И

(4) не — буква «е»: НЕ/НИ со словом: слитно или раздельно по части речи и условиям (зависимое слово, противопоставление, частица); «Каких красок не увидишь!» — восклицание: частица НЕ

(5) увидишь — буква «и»: безударное личное окончание глагола: у глаголов I спряжения пишем Е (-ешь, -ет, -ем, -ете, -ют/-ут), у II спряжения — И (-ишь, -ит, -им, -ите, -ат/-ят); «увидеть» — глагол-исключение II спряжения → -ишь

(6) блеснуло — буква «е»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; проверяем «блЕск»

(7) настоянного — буква «я»: перед -нн-/-н- в причастии сохраняется гласная инфинитива (-а-/-я- → -а/-я+нн; от глаголов на -ить → -енн-); от «настоять» → перед -нн- сохраняется -я-

(8) застенчиво — буква «и»: гласная в суффиксе прилагательного (-ев-/-ив-, -чив-/-лив-, -еньк-/-оньк- и т.п.); суффикс -чив-

(9) поворачивая — буква «и»: гласная в суффиксе глагола: если в форме 1-го лица суффикс выпадает (-ую/-юю), пишем -ова-/-ева-; если сохраняется — -ыва-/-ива-; суффикс -ива-

Итог. Буква «Е» нужна в словах под номерами 1, 2, 4, 6.