Как решаем. Для каждого слова находим орфограмму — место, где можно ошибиться, — определяем правило (приставка, корень, суффикс, окончание или спряжение) и решаем, какую букву вставить. Затем выбираем номера слов, где пишется буква «Е».

(1) рассеялся — буква «я»: гласная перед суффиксом -л- прошедшего времени — та же, что в инфинитиве перед -ть; «рассеяться» → перед -л- сохраняется -я-

(2) опасности — буква «и»: безударное падежное окончание существительного — определяем склонение и падеж; сущ. 3-го склонения, род. падеж → -и

(3) горячее — буква «е»: безударное окончание прилагательного/причастия проверяем вопросом от существительного (какой? какому? какие?); прилагательное ср. рода (какое?) → -ее

(4) покажет — буква «е»: безударное личное окончание глагола: у глаголов I спряжения пишем Е (-ешь, -ет, -ем, -ете, -ют/-ут), у II спряжения — И (-ишь, -ит, -им, -ите, -ат/-ят); «показать» — I спряжение → -ет

(5) направление — буква «и»: безударное падежное окончание существительного — определяем склонение и падеж; сущ. на -ие, окончание -ие

(6) ни — буква «и»: НЕ/НИ со словом: слитно или раздельно по части речи и условиям (зависимое слово, противопоставление, частица); «ни в какое время» — частица НИ

(7) бывает — буква «е»: безударное личное окончание глагола: у глаголов I спряжения пишем Е (-ешь, -ет, -ем, -ете, -ют/-ут), у II спряжения — И (-ишь, -ит, -им, -ите, -ат/-ят); «бывать» — I спряжение → -ет

(8) прекрасно — буква «е»: приставки ПРЕ-/ПРИ- по значению: ПРИ- — приближение, присоединение, неполнота действия, близость; ПРЕ- — значение «очень» или близкое к ПЕРЕ-; приставка пре- (в значении «очень»)

(9) начале — буква «е»: безударное падежное окончание существительного — определяем склонение и падеж; сущ., предложный падеж → -е

Итог. Буква «Е» нужна в словах под номерами 3, 4, 7, 8, 9.