Как решаем. Для каждого слова находим орфограмму — место, где можно ошибиться, — определяем правило (приставка, корень, суффикс, окончание или спряжение) и решаем, какую букву вставить. Затем выбираем номера слов, где пишется буква «И».

(1) продолжение — буква «е»: слитное/раздельное/дефисное написание — по части речи и правилу; производный предлог «в продолжение часов» → -е

(2) путешественники — буква «е»: соединительная гласная в сложном слове: после твёрдого согласного — О, после мягкого согласного, шипящего и Ц — Е; сложное слово путь-е-шествие

(3) пробирались — буква «и»: чередующаяся гласная в корне: выбор буквы зависит от суффикса -а-, конечной согласной корня, ударения или значения (бер/бир, стел/стил, тер/тир, мер/мир, лаг/лож, кас/кос, раст/ращ/рос, гар/гор, зар/зор, клан/клон, скак/скоч и т.п.); корень -бер-/-бир-: есть суффикс -а- → -бир-

(4) трясины — буква «я»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; проверяем «трЯска»

(5) отыскать — буква «ы»: Ы/И после приставки на согласную: И → Ы (играть → сыграть); после меж-, сверх-, иноязычных приставок и в сложных словах И сохраняется; после приставки от- на согласную И→Ы

(6) преодолели — буква «е»: приставки ПРЕ-/ПРИ- по значению: ПРИ- — приближение, присоединение, неполнота действия, близость; ПРЕ- — значение «очень» или близкое к ПЕРЕ-; приставка пре- (близкое к пере-)

(7) чащобу — буква «а»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; проверяем «чАща»

(8) поднимешь — буква «е»: безударное личное окончание глагола: у глаголов I спряжения пишем Е (-ешь, -ет, -ем, -ете, -ют/-ут), у II спряжения — И (-ишь, -ит, -им, -ите, -ат/-ят); «поднять» — I спряжение → -ешь

(9) упирающиеся — буква «и»: безударное окончание прилагательного/причастия проверяем вопросом от существительного (какой? какому? какие?); причастие, мн. ч. (какие?) → -иеся

Итог. Буква «И» нужна в словах под номерами 3, 9.