Как решаем. Для каждого слова находим орфограмму — место, где можно ошибиться, — определяем правило (приставка, корень, суффикс, окончание или спряжение) и решаем, какую букву вставить. Затем выбираем номера слов, где пишется буква «И».

(1) видим — буква «и»: безударное личное окончание глагола: у глаголов I спряжения пишем Е (-ешь, -ет, -ем, -ете, -ют/-ут), у II спряжения — И (-ишь, -ит, -им, -ите, -ат/-ят); «видеть» — глагол-исключение II спряжения → -им

(2) сердцем — буква «е»: О/Ё после шипящих: в корне под ударением обычно Ё (есть проверка на Е); в суффиксах и окончаниях существительных и прилагательных под ударением — О, без ударения — Е; окончание сущ. после ц без ударения → Е

(3) замерло — буква «е»: чередующаяся гласная в корне: выбор буквы зависит от суффикса -а-, конечной согласной корня, ударения или значения (бер/бир, стел/стил, тер/тир, мер/мир, лаг/лож, кас/кос, раст/ращ/рос, гар/гор, зар/зор, клан/клон, скак/скоч и т.п.); корень -мер-/-мир-: нет суффикса -а- → -мер-

(4) кажется — буква «е»: безударное личное окончание глагола: у глаголов I спряжения пишем Е (-ешь, -ет, -ем, -ете, -ют/-ут), у II спряжения — И (-ишь, -ит, -им, -ите, -ат/-ят); «казаться» — I спряжение → -ется

(5) синей — буква «е»: безударное окончание прилагательного/причастия проверяем вопросом от существительного (какой? какому? какие?); «в воде (какой?) синей» → -ей

(6) природы — буква «и»: непроверяемая (словарная) гласная в корне — запоминаем написание; словарное «природа»

(7) души — буква «и»: безударное падежное окончание существительного — определяем склонение и падеж; сущ. «душа», род. падеж → -и

(8) увидевшего — буква «е»: гласная перед суффиксом -л- прошедшего времени — та же, что в инфинитиве перед -ть; «увидеть» → перед -вш- сохраняется Е инфинитива

(9) тишины — буква «и»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; проверяем «тИшь»

Итог. Буква «И» нужна в словах под номерами 1, 6, 7, 9.